Encontre a distancia minima do ponto
ao paraboloide dado pela equação
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a distância mínima do ponto
ao paraboloide dado por
Informações fornecidas:
Pergunta a responder:
Passo 2
Vamos representar um ponto genérico do paraboloide por
A distância euclidiana entre
e
é
Para simplificar a minimização, é comum minimizar o quadrado da distância (porque a raiz quadrada é monótona crescente). Definimos
Minimizar
é o mesmo que minimizar
. Agora vamos estudar
.
Passo 3
Observação de simetria (aula rápida e intuitiva): o paraboloide
é rotationalmente simétrico em torno do eixo
. O ponto
tem projeção no plano
igual a
, que está numa direção radial com ângulo
. Por causa da simetria rotacional, o ponto de
mais próximo de
deve ficar na mesma direção radial do plano
, ou seja, devemos ter
e
proporcionais a
e
. Isso implica que o ponto mais próximo pode ser buscado com
.
(Aqui fiz a justificativa: para cada raio fixo
no plano
há liberdade de escolher ângulo
; para
fixando
o termo angular aparece como
e isso é minimizado (maior valor subtraído) quando
é máximo, que ocorre em
.)
Portanto, suponha
. Vamos reduzir o problema a uma variável.
Passo 4
Com
temos
logo
Agora vamos minimizar
como função de uma variável real
.
Passo 5
Derivamos
e igualamos a zero para achar candidatos a mínimo:
Calcule as derivadas passo a passo:
Logo
Igualando a zero e dividindo por
(podemos dividir por
sem alterar):
Dividindo por
e reorganizando obtemos a equação cúbica
Passo 6
Agora precisamos resolver numericamente a cúbica
para o
real que corresponde ao mínimo. Vamos usar Newton (método numérico simples e eficaz) com aproximação inicial razoável; já vimos que o
buscado é positivo (ao projetar em direção
), e uma boa aproximação inicial é
.
Definimos
Aplicando algumas iterações de Newton:
Com
obtemos (cálculos mostrados resumidamente)
(Aqui fiz algumas iterações até obter convergência numérica até cerca de
.)
Portanto o ponto candidato é
Passo 7
Agora calculamos a distância mínima. Usamos a expressão para
em
:
Substituindo
obtemos numericamente
Logo a distância mínima é