Encontre a distancia minima do ponto (1,1,15) ao paraboloide dado pela equação z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a distância mínima do ponto (1,1,15) ao paraboloide dado por \;z=x^{2}+y^{2}.
Informações fornecidas:
\text{o ponto }P=(1,1,15).
\text{o paraboloide: }S=\{(x,y,z)\mid z=x^{2}+y^{2}\}.
Pergunta a responder:
\text{Qual é a distância mínima de }P\text{ a um ponto }Q\in S\text{ ?}éâí

Passo 2

Vamos representar um ponto genérico do paraboloide por
Q=(x,y,x^{2}+y^{2}).
A distância euclidiana entre P e Q é
d(P,Q)=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(x^{2}+y^{2}-15)^{2}}.
Para simplificar a minimização, é comum minimizar o quadrado da distância (porque a raiz quadrada é monótona crescente). Definimos
F(x,y)=d(P,Q)^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(x^{2}+y^{2}-15)^{2}.
Minimizar d é o mesmo que minimizar F. Agora vamos estudar F.

Passo 3

Observação de simetria (aula rápida e intuitiva): o paraboloide z=x^{2}+y^{2} é rotationalmente simétrico em torno do eixo z. O ponto P tem projeção no plano xy igual a (1,1), que está numa direção radial com ângulo \theta=\pi/4. Por causa da simetria rotacional, o ponto de S mais próximo de P deve ficar na mesma direção radial do plano xy, ou seja, devemos ter x e y proporcionais a 1 e 1. Isso implica que o ponto mais próximo pode ser buscado com x=y.
(Aqui fiz a justificativa: para cada raio fixo \rho no plano xy há liberdade de escolher ângulo \theta; para F fixando \rho o termo angular aparece como -2\rho(\cos\theta+\sin\theta) e isso é minimizado (maior valor subtraído) quando \cos\theta+\sin\theta é máximo, que ocorre em \theta=\pi/4.)
Portanto, suponha x=y=t. Vamos reduzir o problema a uma variável.

Passo 4

Com x=y=t temos
x^{2}+y^{2}=2t^{2},
logo
F(t)=2(t-1)^{2}+(2t^{2}-15)^{2}.
Agora vamos minimizar F(t) como função de uma variável real t.

Passo 5

Derivamos F(t) e igualamos a zero para achar candidatos a mínimo:
F'(t)=\frac{d}{dt}\bigl[2(t-1)^{2}\bigr]+\frac{d}{dt}\bigl[(2t^{2}-15)^{2}\bigr].
Calcule as derivadas passo a passo:
\frac{d}{dt}\bigl[2(t-1)^{2}\bigr]=4(t-1),
\frac{d}{dt}\bigl[(2t^{2}-15)^{2}\bigr]=2(2t^{2}-15)\cdot(4t)=8t(2t^{2}-15).
Logo
F'(t)=4(t-1)+8t(2t^{2}-15).
Igualando a zero e dividindo por 1 (podemos dividir por 1 sem alterar):
4(t-1)+8t(2t^{2}-15)=0.
Dividindo por 1 e reorganizando obtemos a equação cúbica
4t^{3}-29t-1=0.

Passo 6

Agora precisamos resolver numericamente a cúbica 4t^{3}-29t-1=0 para o t real que corresponde ao mínimo. Vamos usar Newton (método numérico simples e eficaz) com aproximação inicial razoável; já vimos que o t buscado é positivo (ao projetar em direção (1,1)), e uma boa aproximação inicial é t_{0}=2{,}7.
Definimos
g(t)=4t^{3}-29t-1,\qquad g'(t)=12t^{2}-29.
Aplicando algumas iterações de Newton:
t_{1}=t_{0}-\frac{g(t_{0})}{g'(t_{0})}.
Com t_{0}=2{,}7095 obtemos (cálculos mostrados resumidamente)
t\approx 2{,}70966097.
(Aqui fiz algumas iterações até obter convergência numérica até cerca de 10^{-7}.)
Portanto o ponto candidato é
Q=(t,t,2t^{2})\quad\text{com}\quad t\approx 2{,}70966097.

Passo 7

Agora calculamos a distância mínima. Usamos a expressão para F em t:
F_{\min}=F(t)=2(t-1)^{2}+(2t^{2}-15)^{2}.
Substituindo t\approx 2{,}70966097 obtemos numericamente
F_{\min}\approx 5{,}945397\ldots
Logo a distância mínima é
d_{\min}=\sqrt{F_{\min}}\approx 2{,}438\ldots

Resposta

2,438

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