Qual é o pH mínimo necessário para causar a formação de um precipitado de \mathrm{Fe}(\mathrm{OH})_{2} em uma solução 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de \mathrm{FeCl}_{2} ? \mathrm{K}_{\mathrm{ps}}=2 \cdot 10^{-15} \cdot \mathrm{pH}=7,65.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o pH mínimo necessário para que comece a precipitar \mathrm{Fe}(\mathrm{OH})_{2} numa solução de \mathrm{FeCl}_{2} com concentração inicial \,0,010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Dados fornecidos importantes: a constante do produto de solubilidade \mathrm{K_{ps}} = 2\times 10^{-15} e a concentração inicial de ferro(II) na solução \,[\mathrm{Fe}^{2+}]_{inicial} = 0,010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
O enunciado também já sugere um resultado aproximado de pH ( 7,65), mas vamos deduzir esse valor passo a passo e entender a teoria por trás.

Passo 2

Conceito-chave (aula curta): o produto de solubilidade \mathrm{K_{ps}} para \mathrm{Fe(OH)}_{2} descreve o equilíbrio
\mathrm{Fe(OH)}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Fe}^{2+}(aq) + 2\,\mathrm{OH}^{-}(aq).
A definição é
\mathrm{K_{ps}} = [\mathrm{Fe}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^{-}]^{2},
onde [\mathrm{Fe}^{2+}] é a concentração molar de \mathrm{Fe}^{2+} em equilíbrio e [\mathrm{OH}^{-}] é a concentração molar de íons hidróxido em equilíbrio. Precipitação inicia quando o quociente iônico Q = [\mathrm{Fe}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2} alcança \mathrm{K_{ps}}; ou seja, para dado [\mathrm{Fe}^{2+}], existe um valor crítico de [\mathrm{OH}^{-}] tal que se [\mathrm{OH}^{-}] for maior, o precipitado se forma.

Passo 3

Informação sobre a fonte de \mathrm{Fe}^{2+}: \mathrm{FeCl}_{2} é um sal fortemente iónico e se dissocia completamente em água (assumimos dissociação total e sem complexação relevante):
\mathrm{FeCl}_{2} \longrightarrow \mathrm{Fe}^{2+} + 2\,\mathrm{Cl}^{-}.
Portanto a concentração inicial de \mathrm{Fe}^{2+} na solução é igual à concentração do sal: [\mathrm{Fe}^{2+}] = 0,010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} (assumimos que até o ponto de iniciar a precipitação essa concentração não foi significativamente alterada).

Passo 4

Equacione a condição de equilíbrio para o início do precipitado. Substituímos em \mathrm{K_{ps}}:
\mathrm{K_{ps}} = [\mathrm{Fe}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^{-}]^{2}.
Isolando [\mathrm{OH}^{-}] obtemos
[\mathrm{OH}^{-}] = \sqrt{\frac{\mathrm{K_{ps}}}{[\mathrm{Fe}^{2+}]}}.
Esta fórmula vem de rearranjar a expressão: [\mathrm{OH}^{-}]^{2} = \dfrac{\mathrm{K_{ps}}}{[\mathrm{Fe}^{2+}]} e então tomar raiz quadrada.

Passo 5

Cálculo numérico de [\mathrm{OH}^{-}]. Substituindo os valores numéricos:
[\mathrm{OH}^{-}] = \sqrt{\frac{2\times 10^{-15}}{0,010}}.
Primeiro fazemos a divisão:
\frac{2\times 10^{-15}}{0,010} = 2\times 10^{-13}.
Agora a raiz quadrada:
[\mathrm{OH}^{-}] = \sqrt{2\times 10^{-13}} = \sqrt{2}\times 10^{-6,5}\approx 4,472\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Observação sobre a conta: 10^{-6,5}=10^{-7}\cdot 10^{0,5}\approx 3,162\times 10^{-7} e \sqrt{2}\approx 1,414, multiplicando dá \approx 4,472\times 10^{-7}.

Passo 6

Transformação para pOH e pH (aula curta sobre logaritmos): definimos
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\mathrm{OH}^{-}].
Calculando:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}\bigl(4,472\times 10^{-7}\bigr).
Usamos a propriedade \log_{10}(a\times 10^{b})=\log_{10}a + b. Então
\log_{10}(4,472\times 10^{-7}) = \log_{10}(4,472) -7 \approx 0,6505 -7 = -6,3495,
portanto
\mathrm{pOH} = -(-6,3495) = 6,3495\approx 6,35.

Passo 7

Converter para pH usando a relação (à 25^\circ\mathrm{C}):
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14.
Assim
\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH} = 14 - 6,3495 = 7,6505\approx 7,65.
Interpretação prática: quando o pH da solução atinge aproximadamente 7,65 (ou maior), a concentração de \mathrm{OH^{-}} é suficiente para que [\mathrm{Fe}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2} atinja \mathrm{K_{ps}} e o \mathrm{Fe(OH)}_{2} comece a precipitar.

Passo 8

Comentário final e incentivo: portanto o pH mínimo encontrado é \approx 7,65. Dá pra ver que o procedimento é sempre o mesmo: usar \mathrm{K_{ps}}=[\text{cat.}]\,[\text{OH}^-]^2, isolar [\mathrm{OH}^-], calcular pOH e transformar em pH. Você consegue repetir isso para outros sais com facilidade — vai na fé, tá indo bem!

Resposta

7,65

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