(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite
Informações que o enunciado dá (comportamento das partes quando
):
-
. -
.
Portanto a expressão tem a forma do tipo indeterminado.
Passo 2
Breve explicação do que significa a indeterminação
e a estratégia comum: quando duas parcelas vão para infinito, a diferença pode tender a um número finito, a
, a
ou não existir; por isso é preciso manipular algebraicamente para comparar as taxas de crescimento. Uma técnica simples é fatorar o termo dominante ou reescrever como produto para analisar o sinal e a ordem de grandeza.
Passo 3
Reescrevendo a expressão para comparar ordens de grandeza (passo a passo):
Fatorando
(ou escrevendo como produto) obtemos
Aqui
é o fator que cresce como
e
é um fator que tende para
quando
.
Passo 4
Agora um argumento rigoroso por desigualdade para mostrar que a expressão fica arbitrariamente negativa:
- Para
tem-se , logo
- Portanto, para
,
Como
fica arbitrariamente negativo quando
, a expressão
também fica arbitrariamente negativa quando
. Em outras palavras, a diferença diverge negativamente (torna-se sem limite superior inferior).
Passo 5
Interpretação intuitiva curta (truque de prova rápida para prova ou prova):
cresce muito mais rápido que
(pois
), então a parcela
domina a diferença e leva o valor para valores negativos arbitrariamente grandes à medida que
cresce.