(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}-x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}-x.
Informações que o enunciado dá (comportamento das partes quando x\to\infty):
  • \sqrt{x}\to\infty.
  • x\to\infty.
    Portanto a expressão tem a forma do tipo indeterminado \infty-\infty.

Passo 2

Breve explicação do que significa a indeterminação \infty-\infty e a estratégia comum: quando duas parcelas vão para infinito, a diferença pode tender a um número finito, a +\infty, a -\infty ou não existir; por isso é preciso manipular algebraicamente para comparar as taxas de crescimento. Uma técnica simples é fatorar o termo dominante ou reescrever como produto para analisar o sinal e a ordem de grandeza.

Passo 3

Reescrevendo a expressão para comparar ordens de grandeza (passo a passo):
\sqrt{x}-x = x^{1/2}-x.
Fatorando x (ou escrevendo como produto) obtemos
\sqrt{x}-x = x\bigl(x^{-1/2}-1\bigr) = x\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right).
Aqui x é o fator que cresce como x e \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 é um fator que tende para -1 quando x\to\infty.

Passo 4

Agora um argumento rigoroso por desigualdade para mostrar que a expressão fica arbitrariamente negativa:
  • Para x\ge 4 tem-se \dfrac{1}{\sqrt{x}}\le \dfrac{1}{2}, logo
\frac{1}{\sqrt{x}}-1 \le -\tfrac{1}{2}.
  • Portanto, para x\ge 4,
\sqrt{x}-x = x\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right) \le x\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{x}{2}.
Como -\tfrac{x}{2} fica arbitrariamente negativo quando x\to\infty, a expressão \sqrt{x}-x também fica arbitrariamente negativa quando x\to\infty. Em outras palavras, a diferença diverge negativamente (torna-se sem limite superior inferior).

Passo 5

Interpretação intuitiva curta (truque de prova rápida para prova ou prova): x cresce muito mais rápido que \sqrt{x} (pois x = (\sqrt{x})^2), então a parcela -x domina a diferença e leva o valor para valores negativos arbitrariamente grandes à medida que x cresce.

Resposta

-\infty

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