Determine, se possível, as constantes a e b \in \Re de modo que f seja contínua em x_{o}, sendo: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}, \quad x \neq a \\\ x^{2}-3, \quad x=a\end{array}, \quad\left(x_{o}=a\right)\right..
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
O enunciado pede "determinar as constantes a e b\in\mathbb{R} de modo que f seja contínua em x_{0}". Aqui há uma pequena inconsistência aparente: na definição de f aparece apenas a constante a (o valor de f em x=a é a^{2}-3), não aparece uma constante b. Para poder avançar sem perguntar nada, vou interpretar a tarefa como: encontrar todos os valores de a\in\mathbb{R} tais que f seja contínua em x=a. (No Passo 5 faço um comentário extra sobre o que ocorreria se, em vez de x^{2}-3, o valor em x=a fosse um parâmetro b.)]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser contínuo em x_{0}.
Definição prática: uma função f é contínua em x_{0} se o limite de f(x) quando x tende a x_{0} existir e for igual ao valor da função em x_{0}.
\lim_{x\to x_{0}} f(x) = f(x_{0}).
Aqui queremos x_{0}=a, logo a condição de continuidade em a é
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Então a tarefa será calcular \lim_{x\to a} f(x) usando a expressão válida para x\neq a e igualá-lo ao valor f(a) dado como a^{2}-3.
Passo 3
Calcular o limite quando x\to a da expressão para x\neq a.
Para x\neq a,
\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}.
Como x\neq a podemos cancelar o fator (x-a), ficando
Explicação extra: isso mostra que a expressão tem uma descontinuidade removível em x=a salvo se o valor definido em x=a coincidir com esse limite. “Descontinuidade removível” significa que a função dada pela fórmula para x\neq a tende a um número finito quando x\to a; basta ajustar (ou verificar) o valor em a para tornar a função contínua.
Passo 4
Impor a condição de continuidade: igualar o limite ao valor em a e resolver.
A condição é
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Substituindo o limite calculado e f(a)=a^{2}-3 obtemos
2a = a^{2}-3.
Colocando tudo em um lado:
a^{2}-2a-3=0.
Resolver a equação quadrática por fatoração:
a^{2}-2a-3=(a-3)(a+1)=0.
Portanto as soluções são
a=3\quad\text{ou}\quad a=-1.
Passo 5
Interpretação, verificação e comentário sobre o tal b.
Para a=3: o limite é 2a=6 e f(3)=3^{2}-3=9-3=6. Como coincidem, f é contínua em x=3.
Para a=-1: o limite é 2a=-2 e f(-1)=(-1)^{2}-3=1-3=-2. Também coincidem, logo f é contínua em x=-1.
Comentário sobre b: se o enunciado original tivesse definido f(a)=b (isto é, se em vez de x^{2}-3 o valor em x=a fosse um parâmetro b), a continuidade exigiria simplesmente b=2a. Essa observação é útil se a intenção fosse determinar dois parâmetros a e b. No entanto, com a forma fornecida no enunciado (valor em a igual a a^{2}-3), as soluções para a são as duas acima.