Em uma missão de exploração, 4 sondas foram enviadas para as 4 luas galileanas da tabela abaixo. A nave de recuperação permaneceu orbitando Calisto. Considerando apenas o efeito gravitacional de Io, qual deveria ser a velocidade mínima para a nave decolar da superfície e chegar ao resgate? Considere o movimento como um lançamento vertical do solo de Io e altitude igual à diferença entre os raios das órbitas das duas luas.
| Lua | Diâmetro (km) | Massa (kg) | Período orbital (dias) | Raio da órbita (km) |
|---|---|---|---|---|
| Io | 3643,2 |
|
1,769 | 420800 |
| Europa | 3120.0 |
|
3,551 | 670900 |
| Ganimedes | 5268,0 |
|
7,154 | 1071600 |
| Calisto | 4820,6 |
|
16,689 | 1882700 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados relevantes que ele fornece (peguei esses valores da tabela do enunciado).
O que se pede:
- Determinar a velocidade mínima de decolagem da superfície de Io para que a nave, desprezando todas as forças exceto a gravidade de Io, suba verticalmente até uma altitude igual à diferença entre os raios das órbitas de Calisto e Io e lá tenha velocidade nula (ou seja, energia cinética inicial suficiente para vencer a atração gravitacional de Io até essa altitude).
Dados relevantes (todos obtidos da tabela):
- Diâmetro de Io:
. - Massa de Io:
. - Raio da órbita de Io (em torno de Júpiter):
. - Raio da órbita de Calisto:
.
Constante gravitacional que usarei:
-
.
Observação importante (modelo físico): o enunciado pede para considerar apenas o efeito gravitacional de Io. Portanto vou tratar o problema como movimento unidimensional radial sob o potencial gravitacional de Io, ignorando gravidade de Júpiter, de outras luas e qualquer atmosfera.
Passo 2
Definir o modelo energético e deduzir a fórmula da velocidade mínima necessária.
Explicação física (didática e passo a passo):
- A energia potencial gravitacional de uma massa
situada a uma distância do centro de um corpo de massa é
Aqui
é a constante gravitacional,
é a massa do corpo que causa o campo (Io) e
é a massa da nave (que se cancela nas contas finais).
- Se a nave parte do solo com velocidade inicial
(vertical para cima) e queremos que ela chegue a uma distância maior com velocidade final zero, então pela conservação da energia mecânica:
onde
é a distância do centro de Io até a superfície (raio de Io).
- Substituindo
e cancelando , obtemos:
- Portanto a velocidade mínima procurada é
Comentário didático: essa fórmula é análoga à usada para calcular velocidade de escape, mas aqui o destino é uma altura finita
(não ao infinito). O termo
é a variação no potencial gravitacional por unidade de massa entre os dois pontos.
Passo 3
Calcular as distâncias
e
em metros (conversões cuidadosas).
- Raio de Io (peguei o diâmetro da tabela e dividi por 2):
Convertendo para metros:
- Altitude a ser alcançada: o enunciado manda usar a diferença entre os raios das órbitas de Calisto e Io (peguei ambos da tabela):
Convertendo para metros:
- Distância final do centro de Io:
Passo 4
Substituir os valores numéricos na expressão da energia (calcular
e
).
- Inveros de
e :
- Diferença (variação do inverso das distâncias):
Passo 5
Calcular o fator
e multiplicar pela diferença encontrada.
- Primeiro
:
- Produto com a diferença:
Passo 6
Calcular a velocidade inicial
tomando raiz quadrada do resultado do passo anterior.
- Aplicando a fórmula:
Interpretação rápida: isso significa cerca de
. Lembrete amigável: esse valor é o mínimo teórico considerando apenas a gravidade de Io e partida vertical com velocidade inicial adequada; na prática seriam necessários mais recursos para manobras, tolerâncias e para vencer a gravidade de Júpiter e outras perturbações que aqui foram desprezadas.