Em uma missão de exploração, 4 sondas foram enviadas para as 4 luas galileanas da tabela abaixo. A nave de recuperação permaneceu orbitando Calisto. Considerando apenas o efeito gravitacional de Io, qual deveria ser a velocidade mínima para a nave decolar da superfície e chegar ao resgate? Considere o movimento como um lançamento vertical do solo de Io e altitude igual à diferença entre os raios das órbitas das duas luas.
Lua Diâmetro (km) Massa (kg) Período orbital (dias) Raio da órbita (km)
Io 3643,2 8,9319 \times 10^{22} 1,769 420800
Europa 3120.0 4,7998 \times 10^{22} 3,551 670900
Ganimedes 5268,0 1,4819 \times 10^{23} 7,154 1071600
Calisto 4820,6 1,0759 \times 10^{23} 16,689 1882700

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados relevantes que ele fornece (peguei esses valores da tabela do enunciado).
O que se pede:
  • Determinar a velocidade mínima de decolagem da superfície de Io para que a nave, desprezando todas as forças exceto a gravidade de Io, suba verticalmente até uma altitude igual à diferença entre os raios das órbitas de Calisto e Io e lá tenha velocidade nula (ou seja, energia cinética inicial suficiente para vencer a atração gravitacional de Io até essa altitude).
Dados relevantes (todos obtidos da tabela):
  • Diâmetro de Io: D_{\text{Io}}=3643{,}2\\ \text{km}.
  • Massa de Io: M_{\text{Io}}=8{,}9319\times10^{22}\\ \text{kg}.
  • Raio da órbita de Io (em torno de Júpiter): R_{\text{orb,Io}}=420800\\ \text{km}.
  • Raio da órbita de Calisto: R_{\text{orb,Calisto}}=1882700\\ \text{km}.
Constante gravitacional que usarei:
  • G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}.
Observação importante (modelo físico): o enunciado pede para considerar apenas o efeito gravitacional de Io. Portanto vou tratar o problema como movimento unidimensional radial sob o potencial gravitacional de Io, ignorando gravidade de Júpiter, de outras luas e qualquer atmosfera.

Passo 2

Definir o modelo energético e deduzir a fórmula da velocidade mínima necessária.
Explicação física (didática e passo a passo):
  • A energia potencial gravitacional de uma massa m situada a uma distância r do centro de um corpo de massa M é
U(r)=-\frac{G M m}{r}.
Aqui G é a constante gravitacional, M é a massa do corpo que causa o campo (Io) e m é a massa da nave (que se cancela nas contas finais).
  • Se a nave parte do solo com velocidade inicial v_0 (vertical para cima) e queremos que ela chegue a uma distância maior r_f com velocidade final zero, então pela conservação da energia mecânica:
\frac{1}{2} m v_0^{2} + U(r_0) = 0 + U(r_f),
onde r_0 é a distância do centro de Io até a superfície (raio de Io).
  • Substituindo U e cancelando m, obtemos:
\frac{1}{2} v_0^{2} = G M \left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_f}\right).
  • Portanto a velocidade mínima procurada é
v_0 = \sqrt{2 G M \left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_f}\right)}.
Comentário didático: essa fórmula é análoga à usada para calcular velocidade de escape, mas aqui o destino é uma altura finita r_f (não ao infinito). O termo \dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{r_f} é a variação no potencial gravitacional por unidade de massa entre os dois pontos.

Passo 3

Calcular as distâncias r_0 e r_f em metros (conversões cuidadosas).
  • Raio de Io (peguei o diâmetro da tabela e dividi por 2):
r_0 = \frac{D_{\text{Io}}}{2} = \frac{3643{,}2\\ \text{km}}{2}=1821{,}6\\ \text{km}.
Convertendo para metros:
r_0 = 1821{,}6\\ \text{km} = 1{,}8216\times10^{6}\\ \text{m}.
  • Altitude a ser alcançada: o enunciado manda usar a diferença entre os raios das órbitas de Calisto e Io (peguei ambos da tabela):
\Delta R = R_{\text{orb,Calisto}} - R_{\text{orb,Io}} = 1882700\\ \text{km} - 420800\\ \text{km} = 1461900\\ \text{km}.
Convertendo para metros:
\Delta R = 1{,}461900\times10^{9}\\ \text{m}.
  • Distância final do centro de Io:
r_f = r_0 + \Delta R = 1{,}8216\times10^{6}\\ \text{m} + 1{,}461900\times10^{9}\\ \text{m} = 1{,}4637216\times10^{9}\\ \text{m}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na expressão da energia (calcular 1/r_0 e 1/r_f).
  • Inveros de r_0 e r_f:
\frac{1}{r_0} = \frac{1}{1{,}8216\times10^{6}}\\ \text{m}^{-1} \approx 5{,}488095238\times10^{-7}\\ \text{m}^{-1},
\frac{1}{r_f} = \frac{1}{1{,}4637216\times10^{9}}\\ \text{m}^{-1} \approx 6{,}830997\times10^{-10}\\ \text{m}^{-1}.
  • Diferença (variação do inverso das distâncias):
\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_f} \approx 5{,}488095238\times10^{-7} - 6{,}830997\times10^{-10} \approx 5{,}481264241\times10^{-7}\\ \text{m}^{-1}.

Passo 5

Calcular o fator 2 G M_{\text{Io}} e multiplicar pela diferença encontrada.
  • Primeiro 2 G M_{\text{Io}}:
2 G M_{\text{Io}} = 2\cdot(6{,}67430\times10^{-11})\cdot(8{,}9319\times10^{22}) \approx 1{,}192266\times10^{13}\\ \text{m}^3\text{s}^{-2}.
  • Produto com a diferença:
2 G M_{\text{Io}}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_f}\right) \approx 1{,}192266\times10^{13}\cdot 5{,}481264241\times10^{-7} \approx 6{,}535160\times10^{6}\\ \text{m}^2\text{s}^{-2}.

Passo 6

Calcular a velocidade inicial v_0 tomando raiz quadrada do resultado do passo anterior.
  • Aplicando a fórmula:
v_0 = \sqrt{6{,}535160\times10^{6}}\\ \text{m/s} \approx 2{,}5566\times10^{3}\\ \text{m/s}.
Interpretação rápida: isso significa cerca de 2{,}56\\ \text{km/s}. Lembrete amigável: esse valor é o mínimo teórico considerando apenas a gravidade de Io e partida vertical com velocidade inicial adequada; na prática seriam necessários mais recursos para manobras, tolerâncias e para vencer a gravidade de Júpiter e outras perturbações que aqui foram desprezadas.

Resposta

v_0 \approx 2556{,}6\\ \text{m/s}

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