Usando a mesma tabela 1:
V(V) \sigma_{V}(V) i(mA) \sigma_{i}(mA)
1,6 0,5 3,7 0,5
3,2 0,6 7,3 0,7
4,7 0,6 8,0 0,7
5,8 0,7 9,6 0,8
7,7 0,7 10,9 0,9
9,2 0,7 13,6 1,0
10,5 0,8 14,5 1,1
12,3 0,8 15,8 1,1
a) Faça um gráfico usando um software de planilha (ex. Excel, Origin, SciDAVis, etc) tendo a tensão como variável independente (eixo “X”).
b) Ajuste de uma reta e obtenha a equação da reta (valores dos coeficientes " a " e " b ").
c) Encontre a incerteza nos coeficientes " a " e " b " (no excel, procure pela função proj.lin()).
d) Novamente, obtenha a resistência e compare com o valor encontrado na questão 3.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) Fazer um gráfico com a tensão como variável independente (eixo X) e a corrente como variável dependente (eixo Y).
  • (b) Ajustar uma reta aos dados e obter a equação da reta, ou seja os coeficientes a (inclinação) e b (intercepto).
  • (c) Encontrar a incerteza nos coeficientes a e b.
  • (d) A partir do ajuste, obter a resistência e comparar com o valor da questão 3.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
  • Valores de tensão V (em volt): 1{,}6,\;3{,}2,\;4{,}7,\;5{,}8,\;7{,}7,\;9{,}2,\;10{,}5,\;12{,}3.
  • Incertezas em V (não usadas diretamente no ajuste OLS simples): 0{,}5,\;0{,}6,\;0{,}6,\;0{,}7,\;0{,}7,\;0{,}7,\;0{,}8,\;0{,}8 (em V).
  • Valores de corrente i (em mA): 3{,}7,\;7{,}3,\;8{,}0,\;9{,}6,\;10{,}9,\;13{,}6,\;14{,}5,\;15{,}8.
  • Incertezas em i (em mA): 0{,}5,\;0{,}7,\;0{,}7,\;0{,}8,\;0{,}9,\;1{,}0,\;1{,}1,\;1{,}1.
Observações importantes antes de começar:
  • Vou mostrar como fazer o gráfico e como obter o ajuste no Excel (ou equivalente) e também vou fazer o ajuste por mínimos quadrados manualmente para que você entenda a fórmula e como obter as incertezas.
  • No ajuste que vou mostrar, a tensão é o eixo X e a corrente é o eixo Y. Assim a reta ajustada tem a forma \;i = a\,V + b\; (com i em mA e V em V).

Passo 2

Como fazer o gráfico (passo a passo no Excel / LibreOffice / SciDAVis):
  1. Abra a planilha e coloque os dados em duas colunas: coluna A com V e coluna B com i. (Eu peguei os números da sua tabela e usei essas colunas.)
  2. Selecione os pares (V,i).
  3. Inserir → Gráfico → Dispersão (Scatter) → escolher “Pontos” (scatter sem linhas).
  4. Ajustes visuais recomendados:
    • Colocar título dos eixos: eixo X: “Tensão V (V)”; eixo Y: “Corrente i (mA)”.
    • Se quiser, adicione barras de erro verticais usando as colunas \sigma_i (opção de “Barras de Erro” → valores personalizados → usar a série de incertezas em mA). As barras de erro em X também podem ser colocadas se desejar usar incertezas de V, mas o procedimento de ajuste que mostro usa OLS com variância constante em Y.
  5. Para ajustar uma reta direto no gráfico: clique com o botão direito nos pontos → “Adicionar linha de tendência” → Linear → marcar “Exibir equação no gráfico” e “Exibir valor R^2 no gráfico”. Isto dá uma igualdade rápida, mas não mostra as incertezas nos coeficientes.
  6. Para obter coeficientes e incertezas diretamente na planilha use a função \mathrm{PROJ.LIN} (Português) ou \mathrm{LINEST} (Inglês). Ver detalhes no passo seguinte.

Passo 3

Como obter a reta e as incertezas no Excel usando \mathrm{PROJ.LIN} / \mathrm{LINEST}:
  • Sintaxe geral (em português Excel moderno): \mathrm{=PROJ.LIN}(Y\_range;X\_range;VERDADEIRO;VERDADEIRO).
  • Procedimento:
    1. Selecione um intervalo 2×2 (duas colunas e duas linhas) onde o Excel colocará os resultados.
    2. Digite a fórmula, por exemplo \mathrm{=PROJ.LIN}(B2:B9;A2:A9;VERDADEIRO;VERDADEIRO) (assumindo V em A2:A9 e i em B2:B9).
    3. Confirme como fórmula de matriz (nas versões antigas: Ctrl+Shift+Enter; nas versões modernas o Excel pode preencher automaticamente).
  • O retorno (quando \mathrm{stats}=VERDADEIRO) traz, para regressão linear simples:
    • Primeira linha: coeficientes \,a (inclinação) e b (intercepto).
    • Segunda linha: erros padrão de a e de b (respectivamente).
    • Outras células podem conter R^2, erro padrão da estimativa etc. (dependendo da versão).
  • Observação: a função dá os erros padrão assumindo mínimos quadrados ordinários (homocedasticidade). Se você quiser usar as incertezas pontuais \sigma_i para um ajuste ponderado, é um passo extra (dividir y e x por \sigma_i ou usar uma rotina que aceite pesos). Aqui vou proceder com OLS simples (método mais comum em laboratório quando não pediram ajuste ponderado explícito).

Passo 4

Fórmulas dos mínimos quadrados (aulas rápidas, explicando cada vírgula):
  • Objetivo: encontrar a e b que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - a x_i - b)^2.
  • Fórmulas fechadas (para regressão linear simples): a = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.onde:
    • n é o número de pontos (aqui n=8);
    • x_i são as tensões V;
    • y_i são as correntes i.
  • Vou calcular os somatórios usando os dados (eu peguei os números da tabela que você enviou): \begin{aligned} n &= 8,\\\ \sum x_i &= 55{,}0,\\\ \sum y_i &= 83{,}4,\\\ \sum x_i y_i &= 678{,}20,\\\ \sum x_i^2 &= 474{,}00. \end{aligned}
  • Substituindo nas fórmulas: a = \frac{8\cdot 678{,}20 - 55{,}0\cdot 83{,}4}{8\cdot 474{,}00 - 55{,}0^2} = \frac{5425{,}6 - 4587{,}0}{3792{,}0 - 3025{,}0} = \frac{838{,}6}{767{,}0} \approx 1{,}0937\\ \text{(mA/V)}.
b = \frac{83{,}4 - 1{,}0936873\cdot 55{,}0}{8} \approx 2{,}906\\ \text{(mA)}.
  • Interpretação física: a reta ajustada é \;i = a\,V + b \approx 1{,}0937\,V + 2{,}906 \quad\text{(com \(i\) em mA, \(V\) em V).}

Passo 5

Cálculo das incertezas nos coeficientes (explicando a teoria e aplicando aos números):
  • Primeiro definimos os resíduos e a soma dos quadrados dos resíduos: \mathrm{SSE} = \sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - (a x_i + b)\bigr)^2.O estimador da variância dos resíduos é s^{2} = \frac{\mathrm{SSE}}{n-2}, \qquad s = \sqrt{s^{2}}.
  • As incertezas padrão (erros padrão) dos coeficientes são: \sigma_a = \frac{s}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2}}, \qquad \sigma_b = s\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}},onde \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - \dfrac{(\sum x_i)^2}{n}.
  • Aplicando aos números: \bar{x}=\frac{55{,}0}{8}=6{,}875,\qquad \sum (x_i-\bar{x})^2=474{,}00-\frac{55{,}0^2}{8}=95{,}875.Calculando SSE (soma dos quadrados dos resíduos usando a e b obtidos) obtive \mathrm{SSE}\approx 2{,}74508\quad\text{(mA}^2\text{)}.Assim s^{2}=\frac{2{,}74508}{8-2}=\frac{2{,}74508}{6}\approx 0{,}45751, \qquad s\approx 0{,}6764\\ \text{(mA)}.Agora as incertezas: \sigma_a=\frac{0{,}6764}{\sqrt{95{,}875}}\approx \frac{0{,}6764}{9{,}7929}\approx 0{,}0691\\ \text{(mA/V)},
\sigma_b=0{,}6764\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{6{,}875^2}{95{,}875}}\approx 0{,}5316\\ \text{(mA)}.
  • Resultado final para os coeficientes com incerteza (valores arredondados razoavelmente): a = 1{,}0937 \pm 0{,}0691\\ \text{(mA/V)},\qquad b = 2{,}906 \pm 0{,}532\\ \text{(mA)}.
  • Observação prática: se você usar \mathrm{PROJ.LIN} / \mathrm{LINEST} com \mathrm{stats}=VERDADEIRO, o Excel retorna valores muito próximos a estes (às vezes pequenas diferenças de arredondamento).

Passo 6

Obter a resistência e a incerteza em R (explicando a física e a propagação):
  • Pela Lei de Ohm, para um resistor ideal i = V/R. Comparando com a reta i = a\,V + b, o termo com V tem coeficiente a\approx 1/R se b for pequeno (ou se o circuito tiver offset). Aqui interpretamos a \approx 1/R (com a em A/V). Atenção às unidades: nosso a está em mA/V, então primeiro convertemos para A/V.
  • Converter a para unidades SI: a = 1{,}0937\\ \text{mA/V} = 1{,}0937\times 10^{-3}\\ \text{A/V}.
  • Resistência estimada: R=\frac{1}{a}=\frac{1}{1{,}0937\times 10^{-3}}\\ \Omega\approx 914{,}8\\ \Omega\\ (\approx 915\\ \Omega).
  • Propagação da incerteza (para R=1/a, variação \sigma_R \approx \dfrac{\sigma_a}{a^2}): \sigma_R \approx \frac{\sigma_a}{a^2}.Convertendo \sigma_a para A/V: \sigma_a=0{,}0691\\ \text{mA/V}=6{,}91\times10^{-5}\\ \text{A/V}. Então \sigma_R \approx \frac{6{,}91\times10^{-5}}{(1{,}0937\times10^{-3})^2}\approx 57{,}7\\ \Omega.
  • Resultado final para a resistência: R = 915 \pm 58\\ \Omega\quad(\text{arredondando as incertezas}).

Passo 7

Comparação com a questão 3:
  • O enunciado pede para comparar com o valor encontrado na questão 3, mas eu não tenho o resultado daquela questão aqui. Portanto não consigo fazer a comparação numérica.
  • Sugestão prática: pegue o valor R_{\text{Q3}} obtido na questão 3 e calcule a diferença e o desvio relativo: \Delta R = R_{\text{Q3}} - R_{\text{ajuste}},\qquad \text{diferença relativa } = \frac{\Delta R}{R_{\text{ajuste}}}\times 100\%.çVerifique se R_{\text{Q3}} está dentro do intervalo R\pm\sigma_R para avaliar compatibilidade dentro de uma incerteza de uma sigma.

Resposta

a) Gráfico: dispersão com V no eixo X e i no eixo Y (pontos); barras de erro verticais podem ser adicionadas usando \sigma_i.
b) Equação da reta: \;i = 1{,}0937\,V + 2{,}906\; (com i em mA, V em V).
c) Incertezas dos coeficientes: \;a = 1{,}0937 \pm 0{,}0691\\ \text{(mA/V)},\quad b = 2{,}906 \pm 0{,}532\\ \text{(mA)}.
d) Resistência: \;R = 915 \pm 58\\ \Omega. (Não foi possível comparar com a questão 3 porque o valor daquela questão não foi fornecido.)

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