Usando a mesma tabela 1:
| V(V) |
|
i(mA) |
|
|---|---|---|---|
| 1,6 | 0,5 | 3,7 | 0,5 |
| 3,2 | 0,6 | 7,3 | 0,7 |
| 4,7 | 0,6 | 8,0 | 0,7 |
| 5,8 | 0,7 | 9,6 | 0,8 |
| 7,7 | 0,7 | 10,9 | 0,9 |
| 9,2 | 0,7 | 13,6 | 1,0 |
| 10,5 | 0,8 | 14,5 | 1,1 |
| 12,3 | 0,8 | 15,8 | 1,1 |
a) Faça um gráfico usando um software de planilha (ex. Excel, Origin, SciDAVis, etc) tendo a tensão como variável independente (eixo “X”).
b) Ajuste de uma reta e obtenha a equação da reta (valores dos coeficientes " " e "
").
c) Encontre a incerteza nos coeficientes " " e "
" (no excel, procure pela função proj.lin()).
d) Novamente, obtenha a resistência e compare com o valor encontrado na questão 3.
b) Ajuste de uma reta e obtenha a equação da reta (valores dos coeficientes "
c) Encontre a incerteza nos coeficientes "
d) Novamente, obtenha a resistência e compare com o valor encontrado na questão 3.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) Fazer um gráfico com a tensão como variável independente (eixo
) e a corrente como variável dependente (eixo ). - (b) Ajustar uma reta aos dados e obter a equação da reta, ou seja os coeficientes
(inclinação) e (intercepto). - (c) Encontrar a incerteza nos coeficientes
e . - (d) A partir do ajuste, obter a resistência e comparar com o valor da questão 3.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
- Valores de tensão
(em volt): . - Incertezas em
(não usadas diretamente no ajuste OLS simples): (em V). - Valores de corrente
(em mA): . - Incertezas em
(em mA): .
Observações importantes antes de começar:
- Vou mostrar como fazer o gráfico e como obter o ajuste no Excel (ou equivalente) e também vou fazer o ajuste por mínimos quadrados manualmente para que você entenda a fórmula e como obter as incertezas.
- No ajuste que vou mostrar, a tensão é o eixo
e a corrente é o eixo . Assim a reta ajustada tem a forma (com em mA e em V).
Passo 2
Como fazer o gráfico (passo a passo no Excel / LibreOffice / SciDAVis):
- Abra a planilha e coloque os dados em duas colunas: coluna A com
e coluna B com . (Eu peguei os números da sua tabela e usei essas colunas.) - Selecione os pares
. - Inserir → Gráfico → Dispersão (Scatter) → escolher “Pontos” (scatter sem linhas).
- Ajustes visuais recomendados:
- Colocar título dos eixos: eixo
: “Tensão (V)”; eixo : “Corrente (mA)”. - Se quiser, adicione barras de erro verticais usando as colunas
(opção de “Barras de Erro” → valores personalizados → usar a série de incertezas em mA). As barras de erro em também podem ser colocadas se desejar usar incertezas de , mas o procedimento de ajuste que mostro usa OLS com variância constante em .
- Colocar título dos eixos: eixo
- Para ajustar uma reta direto no gráfico: clique com o botão direito nos pontos → “Adicionar linha de tendência” → Linear → marcar “Exibir equação no gráfico” e “Exibir valor
no gráfico”. Isto dá uma igualdade rápida, mas não mostra as incertezas nos coeficientes. - Para obter coeficientes e incertezas diretamente na planilha use a função
(Português) ou (Inglês). Ver detalhes no passo seguinte.
Passo 3
Como obter a reta e as incertezas no Excel usando
/
:
- Sintaxe geral (em português Excel moderno):
. - Procedimento:
- Selecione um intervalo 2×2 (duas colunas e duas linhas) onde o Excel colocará os resultados.
- Digite a fórmula, por exemplo
(assumindo em A2:A9 e em B2:B9). - Confirme como fórmula de matriz (nas versões antigas: Ctrl+Shift+Enter; nas versões modernas o Excel pode preencher automaticamente).
- O retorno (quando
) traz, para regressão linear simples: - Primeira linha: coeficientes
(inclinação) e (intercepto). - Segunda linha: erros padrão de
e de (respectivamente). - Outras células podem conter
, erro padrão da estimativa etc. (dependendo da versão).
- Primeira linha: coeficientes
- Observação: a função dá os erros padrão assumindo mínimos quadrados ordinários (homocedasticidade). Se você quiser usar as incertezas pontuais
para um ajuste ponderado, é um passo extra (dividir e por ou usar uma rotina que aceite pesos). Aqui vou proceder com OLS simples (método mais comum em laboratório quando não pediram ajuste ponderado explícito).
Passo 4
Fórmulas dos mínimos quadrados (aulas rápidas, explicando cada vírgula):
- Objetivo: encontrar
e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos . - Fórmulas fechadas (para regressão linear simples):
onde: -
é o número de pontos (aqui ); -
são as tensões ; -
são as correntes .
-
- Vou calcular os somatórios usando os dados (eu peguei os números da tabela que você enviou):
- Substituindo nas fórmulas:
- Interpretação física: a reta ajustada é
Passo 5
Cálculo das incertezas nos coeficientes (explicando a teoria e aplicando aos números):
- Primeiro definimos os resíduos e a soma dos quadrados dos resíduos:
O estimador da variância dos resíduos é - As incertezas padrão (erros padrão) dos coeficientes são:
onde e . - Aplicando aos números:
Calculando SSE (soma dos quadrados dos resíduos usando e obtidos) obtive Assim Agora as incertezas:
- Resultado final para os coeficientes com incerteza (valores arredondados razoavelmente):
- Observação prática: se você usar
/ com , o Excel retorna valores muito próximos a estes (às vezes pequenas diferenças de arredondamento).
Passo 6
Obter a resistência e a incerteza em
(explicando a física e a propagação):
- Pela Lei de Ohm, para um resistor ideal
. Comparando com a reta , o termo com tem coeficiente se for pequeno (ou se o circuito tiver offset). Aqui interpretamos (com em A/V). Atenção às unidades: nosso está em mA/V, então primeiro convertemos para A/V. - Converter
para unidades SI: - Resistência estimada:
- Propagação da incerteza (para
, variação ): Convertendo para A/V: . Então - Resultado final para a resistência:
Passo 7
Comparação com a questão 3:
- O enunciado pede para comparar com o valor encontrado na questão 3, mas eu não tenho o resultado daquela questão aqui. Portanto não consigo fazer a comparação numérica.
- Sugestão prática: pegue o valor
obtido na questão 3 e calcule a diferença e o desvio relativo: Verifique se está dentro do intervalo para avaliar compatibilidade dentro de uma incerteza de uma sigma.
Resposta
a) Gráfico: dispersão com
no eixo
e
no eixo
(pontos); barras de erro verticais podem ser adicionadas usando
.
b) Equação da reta: (com
em mA,
em V).
c) Incertezas dos coeficientes:
d) Resistência: (Não foi possível comparar com a questão 3 porque o valor daquela questão não foi fornecido.)
b) Equação da reta:
c) Incertezas dos coeficientes:
d) Resistência: