Utilizando os dados de uma das luas galileanas da tabela abaixo, calcule a massa aproximada de Júpiter.
Lua Diâmetro (km) Massa (kg) Período orbital (dias) Raio da órbita (km)
Io 3643,2 8,9319 \times 10^{22} 1,769 420800
Europa 3120.0 4,7998 \times 10^{22} 3,551 670900
Ganimedes 5268,0 1,4819 \times 10^{23} 7,154 1071600
Calisto 4820,6 1,0759 \times 10^{23} 16,689 1882700

Passo 1

O que o problema pede: calcular a massa aproximada de Júpiter usando os dados de uma das luas da tabela.
Dados que vou usar (peguei estes valores da tabela enviada — escolhi a lua Io):
  • Raio da órbita: a = 420800\\ \text{km}.
  • Período orbital: T = 1,769\\ \text{dias}.
Observação: a massa da lua é muito menor que a massa de Júpiter, então dá para desprezar a massa da lua na fórmula (comentarei isso no próximo passo).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (derivação curta e didática):
  • A força gravitacional que Júpiter exerce sobre a lua é \displaystyle F_G = G\frac{M m}{a^2}, onde:
    • G é a constante gravitacional,
    • M é a massa de Júpiter (o que queremos),
    • m é a massa da lua,
    • a é o raio da órbita (distância entre centros).
  • A força centrípeta necessária para manter a lua em órbita circular de raio a e velocidade orbital v é \displaystyle F_C = m\frac{v^2}{a}.
  • Igualando F_G = F_C e cancelando m (justificativa: m aparece em ambos os lados, e de fato a massa da lua é muito menor que M, então não precisa somar m a M):
G\frac{M}{a^2}=\frac{v^2}{a}\quad\Rightarrow\quad v^2=\frac{GM}{a}.
  • A velocidade orbital relaciona-se com o período por v=\dfrac{2\pi a}{T}. Substituindo:
\left(\frac{2\pi a}{T}\right)^2=\frac{GM}{a}.
  • Isolando M obtemos a forma prática de Kepler/Newton que usaremos:
M=\frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}.
Aqui:
  • M: massa de Júpiter (kg), que queremos;
  • a: raio da órbita (m);
  • T: período orbital (s);
  • G: constante gravitacional, \displaystyle G=6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.

Passo 3

Converter unidades para o SI (essencial!):
  • Converter a de \text{km} para \text{m}:
a = 420800\\ \text{km} = 420800\times10^{3}\\ \text{m} = 4,208\times10^{8}\\ \text{m}.
  • Converter T de dias para segundos (1 dia = 86400 s):
T = 1,769\\ \text{dias} = 1,769\times86400\\ \text{s} = 152841,6\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular as potências necessárias (mostrando os passos para poder fazer sem calculadora até certo ponto):
  • Calcular a^3:
a^3 = (4,208\times10^{8})^3 = 4,208^3\times10^{24} \approx 74,539098112\times10^{24} = 7,4539098112\times10^{25}\\ \text{m}^3.
  • Calcular T^2:
T^2 = (152841,6)^2 \approx 2,336055469056\times10^{10}\\ \text{s}^2.

Passo 5

Calcular o numerador e o denominador da fórmula:
  • Numerador:
4\pi^2 a^3 \approx 4\cdot\pi^2\cdot 7,4539098112\times10^{25}.
Sabendo \pi^2\approx9,869604401, tem-se 4\pi^2\approx39,4784176. Então
4\pi^2 a^3 \approx 39,4784176 \times 7,4539098112\times10^{25} \approx 2,942685642793\times10^{27}.
  • Denominador:
G T^2 = (6,67430\times10^{-11})\times(2,336055469056\times10^{10}) \approx 1,559153497860352.

Passo 6

Dividir numerador por denominador para obter M:
M \approx \frac{2,942685642793\times10^{27}}{1,559153497860352} \approx 1,887\times10^{27}\\ \text{kg}.

Passo 7

Arredondamento final e comentário sobre precisão:
  • Aproximando com três algarismos significativos:
M \approx 1,89\times10^{27}\\ \text{kg}.
Esse valor está muito próximo do valor aceito para a massa de Júpiter ( \approx 1,898\times10^{27}\\ \text{kg}); a diferença vem de arredondamentos e da aproximação de órbitas como circulares e de desprezar a massa da lua (este último efeito é desprezível para luas pequenas).

Resposta

M \approx 1,89\times10^{27}\\ \text{kg}

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