Utilizando os dados de uma das luas galileanas da tabela abaixo, calcule a massa aproximada de Júpiter.
| Lua | Diâmetro (km) | Massa (kg) | Período orbital (dias) | Raio da órbita (km) |
|---|---|---|---|---|
| Io | 3643,2 |
|
1,769 | 420800 |
| Europa | 3120.0 |
|
3,551 | 670900 |
| Ganimedes | 5268,0 |
|
7,154 | 1071600 |
| Calisto | 4820,6 |
|
16,689 | 1882700 |
Passo 1
O que o problema pede: calcular a massa aproximada de Júpiter usando os dados de uma das luas da tabela.
Dados que vou usar (peguei estes valores da tabela enviada — escolhi a lua Io):
- Raio da órbita:
. - Período orbital:
.
Observação: a massa da lua é muito menor que a massa de Júpiter, então dá para desprezar a massa da lua na fórmula (comentarei isso no próximo passo).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (derivação curta e didática):
- A força gravitacional que Júpiter exerce sobre a lua é
, onde: -
é a constante gravitacional, -
é a massa de Júpiter (o que queremos), -
é a massa da lua, -
é o raio da órbita (distância entre centros).
-
- A força centrípeta necessária para manter a lua em órbita circular de raio
e velocidade orbital é . - Igualando
e cancelando (justificativa: aparece em ambos os lados, e de fato a massa da lua é muito menor que , então não precisa somar a ):
- A velocidade orbital relaciona-se com o período por
. Substituindo:
- Isolando
obtemos a forma prática de Kepler/Newton que usaremos:
Aqui:
-
: massa de Júpiter (kg), que queremos; -
: raio da órbita (m); -
: período orbital (s); -
: constante gravitacional, .
Passo 3
Converter unidades para o SI (essencial!):
- Converter
de para :
- Converter
de dias para segundos (1 dia = 86400 s):
Passo 4
Calcular as potências necessárias (mostrando os passos para poder fazer sem calculadora até certo ponto):
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Calcular o numerador e o denominador da fórmula:
- Numerador:
Sabendo
, tem-se
. Então
- Denominador:
Passo 6
Dividir numerador por denominador para obter
:
Passo 7
Arredondamento final e comentário sobre precisão:
- Aproximando com três algarismos significativos:
Esse valor está muito próximo do valor aceito para a massa de Júpiter (
); a diferença vem de arredondamentos e da aproximação de órbitas como circulares e de desprezar a massa da lua (este último efeito é desprezível para luas pequenas).