Mistura-se 100 mL de uma solução contendo \mathrm{BaCl}_{2} 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e \mathrm{SrCl}_{2} 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} com 200 mL de uma solução de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4} 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Que fração de cada cátion metálico se precipita?

Passo 1

O enunciado mistura 100 mL de uma solução que contém \mathrm{BaCl}_{2} e \mathrm{SrCl}_{2}, ambos 0,01 mol L ^{-1}, com 200 mL de uma solução de \mathrm{Na}_{2}\mathrm{SO}_{4} 0,01 mol L ^{-1}. Pede-se a fração de cada cátion metálico que precipita como sulfato. O conteúdo é equilíbrio de solubilidade (produto de solubilidade) e balanço de massa.

Passo 2

Calculamos os mols iniciais antes de qualquer precipitado:
\begin{aligned} n_{\mathrm{Ba}^{2+},0}&=0,01\;\mathrm{mol/L}\times0,100\;\mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{mol},\\\ n_{\mathrm{Sr}^{2+},0}&=0,01\;\mathrm{mol/L}\times0,100\;\mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{mol},\\\ n_{\mathrm{SO}_{4}^{2-},0}&=0,01\;\mathrm{mol/L}\times0,200\;\mathrm{L}=2{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{mol}. \end{aligned}
Volume total V=0,100+0,200=0,300 L.

Passo 3

Chamemos de x e y os mols de \mathrm{Ba}^{2+} e \mathrm{Sr}^{2+} que precipitam, respectivamente.
Então os mols em solução no equilíbrio são
n_{\mathrm{Ba}^{2+}}=1{,}0\times10^{-3}-x, \quad n_{\mathrm{Sr}^{2+}}=1{,}0\times10^{-3}-y, \quad n_{\mathrm{SO}_{4}^{2-}}=2{,}0\times10^{-3}-(x+y).
As concentrações em equilíbrio são, por exemplo,
[\mathrm{Ba}^{2+}]=\frac{1{,}0\times10^{-3}-x}{0,300},\quad [\mathrm{SO}_{4}^{2-}]=\frac{2{,}0\times10^{-3}-(x+y)}{0,300},
e análogas para [\mathrm{Sr}^{2+}].

Passo 4

No equilíbrio de solubilidade valem
\begin{cases} K_{ps}(\mathrm{BaSO}_4)=[\mathrm{Ba}^{2+}]\,[\mathrm{SO}_{4}^{2-}],\\\ K_{ps}(\mathrm{SrSO}_4)=[\mathrm{Sr}^{2+}]\,[\mathrm{SO}_{4}^{2-}]. \end{cases}
Usando valores típicos de tabela:
K_{ps}(\mathrm{BaSO}_4)=1{,}1\times10^{-10}, \quad K_{ps}(\mathrm{SrSO}_4)=2{,}7\times10^{-7}.

Passo 5

Uma forma elegante é notar que, definindo s=[\mathrm{SO}_{4}^{2-}] em mol L ^{-1},
[\mathrm{Ba}^{2+}]=\frac{1{,}1\times10^{-10}}{s}, \quad [\mathrm{Sr}^{2+}]=\frac{2{,}7\times10^{-7}}{s}.
Pela conservação de massa do sulfato chega-se a
s^{2}=K_{ps}(\mathrm{BaSO}_4)+K_{ps}(\mathrm{SrSO}_4) \quad\Longrightarrow\quad s=\sqrt{1{,}1\times10^{-10}+2{,}7\times10^{-7}}\approx5{,}20\times10^{-4}\,\mathrm{mol/L}.

Passo 6

Calculamos agora mols em solução e mols precipitados:
\begin{aligned} [\mathrm{Ba}^{2+}]&=\frac{1{,}1\times10^{-10}}{5{,}20\times10^{-4}}\approx2{,}12\times10^{-7}\;\mathrm{mol/L},\\\ n_{\mathrm{Ba}^{2+},\text{sol}}&=0,300\times2{,}12\times10^{-7}=6{,}36\times10^{-8}\;\mathrm{mol},\\\ x&=1{,}0\times10^{-3}-6{,}36\times10^{-8}\approx9{,}99936\times10^{-4}\;\mathrm{mol}, \end{aligned}
\begin{aligned} [\mathrm{Sr}^{2+}]&=\frac{2{,}7\times10^{-7}}{5{,}20\times10^{-4}}\approx5{,}19\times10^{-4}\;\mathrm{mol/L},\\\ n_{\mathrm{Sr}^{2+},\text{sol}}&=0,300\times5{,}19\times10^{-4}=1{,}56\times10^{-4}\;\mathrm{mol},\\\ y&=1{,}0\times10^{-3}-1{,}56\times10^{-4}=8{,}44\times10^{-4}\;\mathrm{mol}. \end{aligned}
As frações precipitadas são então
f_{\mathrm{Ba}^{2+}}=\frac{x}{1{,}0\times10^{-3}}\approx0{,}9999\;(99{,}99\%), \quad f_{\mathrm{Sr}^{2+}}=\frac{y}{1{,}0\times10^{-3}}\approx0{,}844\;(84{,}4\%).

Resposta

Aproximadamente 99{,}99\% do \mathrm{Ba}^{2+} precipita e 84{,}4\% do \mathrm{Sr}^{2+} precipita.

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