Determine a localização do estágio de carga ótimo e o número de estágios teóricos necessários para separação da mistura de ácido acético (A) e água (W). O modelo termodinâmico indicado para a predição dos dados de equilíbrio líquido-vapor é:
\mathrm{K}_{\mathrm{i}}=\frac{\gamma i * P s a t}{P} \mathrm{e} os coeficientes de atividade \gamma \mathrm{i} devem ser calculados pelo modelo de Sebastiani e Lacquaniti (Chem. Eng. Sci., 22, 1155, 1967):
\begin{gathered} \log \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{W}}=X_{A}^{2}\left[\mathrm{~A}+\mathrm{B}\left(4 \mathrm{X}_{\mathrm{W}}-1\right)-\mathrm{C}\left(\mathrm{X}_{\mathrm{W}}-\mathrm{X}_{\mathrm{A}}\right)\left(4 \mathrm{X}_{\mathrm{A}}-1\right)^{2}\right] \\\ \log \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{A}}=X_{W}^{2}\left[\mathrm{~A}+\mathrm{B}\left(4 \mathrm{X}_{\mathrm{W}}-3\right)+\mathrm{C}\left(\mathrm{X}_{\mathrm{W}}-\mathrm{X}_{\mathrm{A}}\right)\left(4 \mathrm{X}_{\mathrm{A}}-3\right)^{2}\right] \\\ \mathrm{A}=0,1182+\frac{64,24}{T(K)} \\\ \mathrm{B}=0,1735-\frac{43,27}{T(K)} \\\ \mathrm{C}=0,1081 \end{gathered}
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Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a localização do estágio de alimentação ótimo na coluna e o número de estágios teóricos necessários para separar a mistura binária ácido acético (A) — água (W).
Informações explícitas dadas no enunciado:
  • A expressão para a constante de volatilidade é K_{i}=\dfrac{\gamma_{i}\,P^{\text{sat}}_{i}}{P}.
  • Os coeficientes de atividade \gamma_{i} devem ser calculados pelo modelo de Sebastiani e Lacquaniti, cujas fórmulas e parâmetros foram fornecidos:
\begin{gathered} \log \gamma_{W}=X_{A}^{2}\left[A+B\left(4X_{W}-1\right)-C\left(X_{W}-X_{A}\right)\left(4X_{A}-1\right)^{2}\right]\\[4pt] \log \gamma_{A}=X_{W}^{2}\left[A+B\left(4X_{W}-3\right)+C\left(X_{W}-X_{A}\right)\left(4X_{A}-3\right)^{2}\right]\\[6pt] A=0{,}1182+\dfrac{64{,}24}{T(K)}\\[4pt] B=0{,}1735-\dfrac{43{,}27}{T(K)}\\[4pt] C=0{,}1081 \end{gathered}
Informações que faltam (necessárias para calcular valores numéricos):
  • Pressão de operação da coluna P (ou se é operação a pressão atmosférica).
  • Composição da alimentação (frações molares \,z_A e \,z_W).
  • Condição da alimentação q (liquido saturado, vapor saturado, mistura, etc.) ou estado térmico para determinar a inclinação da q-linha.
  • Especificações de produto: fração molar no destilado x_D (ou y_D) e nos fundos x_B.
  • Se a separação é por choque (destilar até azeótropo) ou exige operação especial (azeótropo de ácido acético/água existe? depende de pressão).
  • Dados de pressão de vapor puro P^{\text{sat}}_i(T) (equações de Antoine ou tabela) ou temperatura de operação para calcular P^{\text{sat}}_i.
  • Se é pedido número de estágios para um refluxo dado R ou para R_{\min} — ou se quer número mínimo de estágios a refluxo infinito/total.
Conclusão do passo: com os dados descritos no enunciado não há informação numérica suficiente para calcular a localização ótima da alimentação nem o número de estágios. Abaixo eu ensino, passo a passo e de forma prática, como resolver o problema assim que esses dados estiverem disponíveis — mostrando todas as fórmulas, interpretações e procedimentos que você pode aplicar em prova ou em planilha.]

Passo 2

Entendendo o que é K_{i} e como usar a expressão fornecida (aula rápida e prática)
  • O coeficiente de volatilidade K_{i} relaciona composição vapor e líquida em equilíbrio: para o componente i,
y_i = \dfrac{K_i\,x_i}{\displaystyle\sum_{j} K_j x_j}
no caso binário A/W essa relação simplifica (ver passo 3).
  • A fórmula dada significa: vapor ideal (Lei de Raoult modificada por atividade):
K_i = \dfrac{\gamma_i\,P_i^{\text{sat}}(T)}{P}
onde:
  • \gamma_i é o coeficiente de atividade do componente i na fase líquida (conta não-idealidade),
  • P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente puro a temperatura T,
  • P é a pressão total (pressão de operação da coluna).
  • Interpretação prática: para obter K_i precisamos de T (ou de uma iteração temperatura–pressão), dos P_i^{\text{sat}} e de \gamma_i. O modelo de atividade fornece \gamma_i em função das frações molares líquidas e da temperatura.

Passo 3

Como calcular os coeficientes de atividade \gamma_A e \gamma_W com o modelo dado (aula passo-a-passo)
  • Primeiro defina as frações molares líquidas de cada componente: \,X_A e \,X_W (note que \,X_A+X_W=1).
  • Calcule A, B, C usando \,T em Kelvin:
\begin{aligned} A&=0{,}1182+\dfrac{64{,}24}{T}\\[4pt] B&=0{,}1735-\dfrac{43{,}27}{T}\\[4pt] C&=0{,}1081 \end{aligned}
  • Em seguida calcule \log \gamma_W e \log \gamma_A pelas expressões:
\log \gamma_{W}=X_{A}^{2}\big[A+B(4X_{W}-1)-C(X_{W}-X_{A})(4X_{A}-1)^{2}\big]
\log \gamma_{A}=X_{W}^{2}\big[A+B(4X_{W}-3)+C(X_{W}-X_{A})(4X_{A}-3)^{2}\big]
  • Finalmente, obtem-se \gamma_i=\exp(\log \gamma_i).
  • Dica prática: se estiver fazendo no caderno/planilha, monte uma tabela de X_A de 0 a 1 com passo por exemplo 0,05 e calcule \gamma para cada ponto; isso dá a curva de atividade que você precisa para montar o equilíbrio líquido–vapor.]

Passo 4

Como obter P_i^{\text{sat}}(T) (pressão de vapor do puro) — o que usar em prova
  • Normalmente se usa a equação de Antoine:
\log_{10} P_i^{\text{sat}}(T)=A_i-\dfrac{B_i}{T+C_i}
(com constantes A_i,B_i,C_i para cada componente; atenção às unidades de P e T).
  • Se na prova te der uma tabela de P_i^{\text{sat}} ou as constantes de Antoine, usa direta. Se não der, o enunciado tem de fornecer P e/ou T. Sem isso, não dá número.
  • Observação: para misturas fortemente não-ideais (ácido acético + água) é comum que a dependência T e a não-idealidade gerem curvas de equilíbrio não triviais; a metodologia segue igual, só que os números mudarão.

Passo 5

Construindo a curva de equilíbrio y_A vs x_A para um binário (ferramenta essencial para McCabe–Thiele)
  • Em binário, a fração molar do vapor do componente A pode ser escrita como:
y_A=\dfrac{K_A x_A}{K_A x_A + K_W x_W}
mas como x_W=1-x_A, isso vira uma função só de x_A:
y_A=\dfrac{K_A(x_A)\,x_A}{K_A(x_A)\,x_A + K_W(x_A)\,(1-x_A)}
  • Procedimento prático:
    1. Para cada x_A da grade compute X_A=x_A, X_W=1-x_A.
    2. Calcule A,B,C a partir de T, calcule \gamma_A,\gamma_W (Passo 3).
    3. Calcule P_i^{\text{sat}}(T) (Passo 4).
    4. Calcule K_A e K_W por K_i=\dfrac{\gamma_i P_i^{\text{sat}}}{P}.
    5. Calcule y_A pela fórmula acima.
    6. Plote y_A em função de x_A. Essa é a curva de equilíbrio.

Passo 6

McCabe–Thiele: método gráfico (como encontrar o número de estágios e a posição da alimentação)
  • Conceitos principais (explicados devagar):
    • Refluxo R: relação entre a vazão do refluxo e a vazão de destilado. É parâmetro de projeto.
    • Reta y=x: linha diagonal onde y_A=x_A.
    • Curva de equilíbrio: obtida no Passo 5.
    • Linhas de operação:
      • Linha de operação do teto (rectifying line): para refluxo R,
      y = \dfrac{R}{R+1}\,x + \dfrac{1}{R+1}\,x_Donde x_D é a fração molar desejada no destilado.
      • Linha de operação do enriquecimento inferior (stripping line): liga o fundo ao ponto de interseção com a q-line (ver abaixo) e depende da composição do fundo x_B.
    • q-line: representa a condição da alimentação; sua equação (linear) é y = \dfrac{q}{q-1}\,x - \dfrac{z}{q-1}onde z é a composição da alimentação em A e q é a fração de alimentação que entra como líquido (ex.: q=1 líquido saturado, vertical; q=0 vapor saturado, horizontal).
  • Procedimento gráfico para número de estágios:
    1. Trace o diagrama y vs x: diagonal y=x e curva de equilíbrio.
    2. Trace a linha de operação superior usando R e x_D.
    3. Trace a q-line a partir da composição de alimentação z e do q dado.
    4. Determine interseção entre a linha superior e a q-line; a partir desse ponto, trace a linha de operação inferior que conecta com x_B.
    5. A partir do ponto (x_D,x_D) faça passos alternados: horizontal até a curva de equilíbrio, vertical até a linha de operação superior, e assim por diante; conte os degraus até atingir x_B. O número de degraus é o número de estágios teóricos totais (não incluindo condensador e reboiler se for contagem distinta).
    6. A posição do estágio de alimentação ótimo é o estágio onde, no passo-a-passo, ocorre o cruzamento pela q-line — ou dito de outra forma, o estágio na qual o degrau passa pela q-line. Esse estágio é o ponto de introdução da alimentação que minimiza o número de estágios para aquele refluxo.
  • Observação prática: o método McCabe–Thiele é gráfico; para trabalho em prova sem computador você normalmente:
    • desenha com régua e papel milimetrado,
    • ou realiza o mesmo processo numericamente (passos discretos) em planilha: começa em x_D, calcula o y da curva de equilíbrio para esse x, depois calcula novo x na linha de operação, etc.

Passo 7

Métodos de atalho para estimar número mínimo de estágios e refluxo mínimo (útil para provas e para estimativas rápidas)
  • Fenske (número mínimo de estágios a refluxo total — isto é, R \rightarrow \infty):
N_{\min}=\dfrac{\ln\!\bigg(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\bigg)}{\ln \alpha_{\text{avg}}}
onde \alpha_{\text{avg}} é uma volatilidade média (relativa) entre as composições. Para não-ideais use \alpha(x)=\dfrac{K_A(x)}{K_W(x)} e calcule uma média logarítmica ou use \alpha na região do corte. Expliquei abaixo como obter \alpha.
  • Underwood (refluxo mínimo R_{\min} para destilação contínua com várias componentes; em binário pode-se usar forma simplificada): resolve uma equação em termos de \theta (constante de Underwood). Para binário, dá-se:
\sum_i \dfrac{z_i \alpha_i}{\alpha_i-\theta}=1
e então
R_{\min}=\dfrac{\theta}{1-\theta}
(na prática para binário essa fórmula exige cuidado e costuma-se aplicar a versão detalhada do Underwood ou usar versão simplificada; em prova o enunciado frequentemente dá \alpha ou \theta ou pede apenas procedimento).
  • Gilliland (correlação entre R/R_{\min} e N para estimativa do número de estágios práticos):
    • Usa uma função empírica que fornece N quando sabemos R e R_{\min}, e N_{\min}.
    • Em provas você normalmente cita a correlação e aplica se tiver os números.
  • Observação prática: para uma mistura não-ideal forte (ácido acético/água), volatilidade relativa \alpha varia muito com composição; usar média pode introduzir erro. Quando a não-idealidade é significativa, o método numérico (McCabe–Thiele com curva de equilíbrio calculada ponto-a-ponto) é preferível.

Passo 8

Como determinar numericamente (em planilha ou programa) a localização ótima da alimentação e o número exato de estágios (roteiro passo-a-passo para aplicar com os dados)
  1. Entradas que você precisa obter ou que o enunciado deve fornecer:
    • P (pressão de operação), T (se coluna em regime isotérmico simples) ou função P^{\text{sat}}(T) com Antoine.
    • z (composição da alimentação), q (condição da alimentação).
    • x_D e x_B (especificações de qualidade do produto).
    • Refluxo R desejado (ou pedir para achar R_{\min} e depois escolher R).
  2. Monte uma grade de x_A de 0 a 1 com passo pequeno (ex.: 0,01).
  3. Para cada x_A calcule \gamma_A,\gamma_W com as fórmulas dadas (Passo 3), calcule P^{\text{sat}}_i e então K_i.
  4. Calcule a curva de equilíbrio y_A(x_A) conforme Passo 5 e armazene valores.
  5. Escolha R. Se não souber R, calcule R_{\min} com Underwood (se aplicável) e então escolha R como múltiplo de R_{\min} (por exemplo 1{,}2\,R_{\min}).
  6. Monte as linhas de operação numericamente:
    • Linha superior: y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{1}{R+1}x_D.
    • Linha inferior: definida pela interseção da q-line com a linha superior e ligação com x_B.
  7. Faça stepping numérico:
    • Comece em x=x_D. Calcule y na curva de equilíbrio para esse x (interpolando na tabela do passo 4).
    • Mova horizontalmente até a linha de operação (isto dá novo x).
    • Mova verticalmente até a curva de equilíbrio (isto dá novo y), e repita.
    • Conte quantos degraus até chegar a x_B. Armazene o índice do degrau onde o stepping cruza a q-line: esse índice é o estágio de alimentação (posição do estágio de alimentação, contar a partir do topo normalmente).
  8. A posição ótima de alimentação é aquela onde o stepping cruza a q-line — se o objetivo for minimizar número de estágios para um dado refluxo essa posição é, de fato, ótima (prática da McCabe–Thiele).
  9. Se for preciso otimizar também o consumo de vapor/reboiler (energia), o problema vira uma otimização (troca entre R e número de estágios) e pode exigir avaliação do custo energético; em prova normalmente pedem apenas a posição do estágio para um R dado.

Passo 9

Cálculo prático de volatilidade relativa \alpha e uso nas fórmulas (como aplicar em prova)
  • Para cada composição x defina:
\alpha(x)=\dfrac{K_A(x)}{K_W(x)}=\dfrac{\gamma_A P_A^{\text{sat}}}{\gamma_W P_W^{\text{sat}}}
  • Se precisar aplicar Fenske para N_{\min} use uma \alpha_{\text{média}}é apropriada (por exemplo \alpha avaliada num ponto médio entre x_D e x_B) e depois:
N_{\min}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln \alpha_{\text{média}}}é
  • Atenção: isso é uma estimativa; para precisão, aplique McCabe–Thiele com a curva de equilíbrio real calculada.

Passo 10

Resumo operacional — o que você faz na prova se te der os números (passo-a-passo curto que você pode seguir e aplicar sem perder tempo)
  1. Anote P, z, q, x_D, x_B, e dados de Antoine (ou tabelas).
  2. Calcule A,B,C usando T (se T não fornecido, será necessário iterar para balanço de energia ou assumir comportamento suficiente — normalmente T é obtida da curva de equilíbrio).
  3. Monte tabela x \to \gamma_i \to P^{\text{sat}}_i \to K_i \to y.
  4. Trace ou compute numericamente a curva y(x).
  5. Calcule R_{\min} e N_{\min} (Underwood/Fenske) se pedirem estimativas iniciais.
  6. Faça McCabe–Thiele (graficamente ou numericamente) para o R escolhido; conte os estágios.
  7. Localize o estágio de alimentação como o degrau que cruza a q-line no stepping; esse é o estágio ótimo para diminuir número de estágios ao refluxo escolhido.
  8. Conclua com o número de estágios e a localização do estágio de alimentação (contagem a partir do topo normalmente).

Passo 11

Motivações e dicas para a sua confiança (um empurrão amigo)
  • Se você precisa entregar isso na prova, foque em:
    • mostrar claramente como calculou \gamma_i com o modelo dado,
    • mostrar a construção da curva de equilíbrio (mesmo que por 4–5 pontos),
    • aplicar McCabe–Thiele e contar os degraus,
    • destacar o estágio onde o degrau cruza a q-line como o local de alimentação.
  • Se o professor exigir números, ele terá fornecido (ou esperado que você use) os dados que eu listei em Passo 8. Sem esses dados não tem número único correto.
  • Você está fazendo certo em pedir a resolução passo-a-passo — com essa sequência na cabeça você resolve rapidamente quando tiver os dados.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a localização do estágio de alimentação ótimo nem o número de estágios teóricos porque faltam dados essenciais: pressão de operação P (ou temperatura de operação), composição da alimentação z, condição da alimentação q, composições alvo x_D e x_B, e as constantes/valores de P_i^{\text{sat}}(T). Forneça esses valores que eu calculo passo a passo e entrego o número de estágios e a posição ótima do estágio de alimentação.

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