Determine a localização do estágio de carga ótimo e o número de estágios teóricos necessários para separação da mistura de ácido acético (A) e água (W). O modelo termodinâmico indicado para a predição dos dados de equilíbrio líquido-vapor é:
os coeficientes de atividade
devem ser calculados pelo modelo de Sebastiani e Lacquaniti (Chem. Eng. Sci., 22, 1155, 1967):
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Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a localização do estágio de alimentação ótimo na coluna e o número de estágios teóricos necessários para separar a mistura binária ácido acético (A) — água (W).
Informações explícitas dadas no enunciado:
- A expressão para a constante de volatilidade é
. - Os coeficientes de atividade
devem ser calculados pelo modelo de Sebastiani e Lacquaniti, cujas fórmulas e parâmetros foram fornecidos:
Informações que faltam (necessárias para calcular valores numéricos):
- Pressão de operação da coluna
(ou se é operação a pressão atmosférica). - Composição da alimentação (frações molares
e ). - Condição da alimentação
(liquido saturado, vapor saturado, mistura, etc.) ou estado térmico para determinar a inclinação da q-linha. - Especificações de produto: fração molar no destilado
(ou ) e nos fundos . - Se a separação é por choque (destilar até azeótropo) ou exige operação especial (azeótropo de ácido acético/água existe? depende de pressão).
- Dados de pressão de vapor puro
(equações de Antoine ou tabela) ou temperatura de operação para calcular . - Se é pedido número de estágios para um refluxo dado
ou para — ou se quer número mínimo de estágios a refluxo infinito/total.
Conclusão do passo: com os dados descritos no enunciado não há informação numérica suficiente para calcular a localização ótima da alimentação nem o número de estágios. Abaixo eu ensino, passo a passo e de forma prática, como resolver o problema assim que esses dados estiverem disponíveis — mostrando todas as fórmulas, interpretações e procedimentos que você pode aplicar em prova ou em planilha.]
Passo 2
Entendendo o que é
e como usar a expressão fornecida (aula rápida e prática)
- O coeficiente de volatilidade
relaciona composição vapor e líquida em equilíbrio: para o componente ,
no caso binário
essa relação simplifica (ver passo 3).
- A fórmula dada significa: vapor ideal (Lei de Raoult modificada por atividade):
onde:
-
é o coeficiente de atividade do componente na fase líquida (conta não-idealidade), -
é a pressão de vapor do componente puro a temperatura , -
é a pressão total (pressão de operação da coluna). - Interpretação prática: para obter
precisamos de (ou de uma iteração temperatura–pressão), dos e de . O modelo de atividade fornece em função das frações molares líquidas e da temperatura.
Passo 3
Como calcular os coeficientes de atividade
e
com o modelo dado (aula passo-a-passo)
- Primeiro defina as frações molares líquidas de cada componente:
e (note que ). - Calcule
, , usando em Kelvin:
- Em seguida calcule
e pelas expressões:
- Finalmente, obtem-se
. - Dica prática: se estiver fazendo no caderno/planilha, monte uma tabela de
de 0 a 1 com passo por exemplo 0,05 e calcule para cada ponto; isso dá a curva de atividade que você precisa para montar o equilíbrio líquido–vapor.]
Passo 4
Como obter
(pressão de vapor do puro) — o que usar em prova
- Normalmente se usa a equação de Antoine:
(com constantes
para cada componente; atenção às unidades de
e
).
- Se na prova te der uma tabela de
ou as constantes de Antoine, usa direta. Se não der, o enunciado tem de fornecer e/ou . Sem isso, não dá número. - Observação: para misturas fortemente não-ideais (ácido acético + água) é comum que a dependência T e a não-idealidade gerem curvas de equilíbrio não triviais; a metodologia segue igual, só que os números mudarão.
Passo 5
Construindo a curva de equilíbrio
vs
para um binário (ferramenta essencial para McCabe–Thiele)
- Em binário, a fração molar do vapor do componente
pode ser escrita como:
mas como
, isso vira uma função só de
:
- Procedimento prático:
- Para cada
da grade compute , . - Calcule
a partir de , calcule (Passo 3). - Calcule
(Passo 4). - Calcule
e por . - Calcule
pela fórmula acima. - Plote
em função de . Essa é a curva de equilíbrio.
- Para cada
Passo 6
McCabe–Thiele: método gráfico (como encontrar o número de estágios e a posição da alimentação)
- Conceitos principais (explicados devagar):
- Refluxo
: relação entre a vazão do refluxo e a vazão de destilado. É parâmetro de projeto. - Reta
: linha diagonal onde . - Curva de equilíbrio: obtida no Passo 5.
- Linhas de operação:
- Linha de operação do teto (rectifying line): para refluxo
,
onde é a fração molar desejada no destilado. - Linha de operação do enriquecimento inferior (stripping line): liga o fundo ao ponto de interseção com a q-line (ver abaixo) e depende da composição do fundo
.
- Linha de operação do teto (rectifying line): para refluxo
- q-line: representa a condição da alimentação; sua equação (linear) é
onde é a composição da alimentação em e é a fração de alimentação que entra como líquido (ex.: líquido saturado, vertical; vapor saturado, horizontal).
- Refluxo
- Procedimento gráfico para número de estágios:
- Trace o diagrama
vs : diagonal e curva de equilíbrio. - Trace a linha de operação superior usando
e . - Trace a q-line a partir da composição de alimentação
e do dado. - Determine interseção entre a linha superior e a q-line; a partir desse ponto, trace a linha de operação inferior que conecta com
. - A partir do ponto
faça passos alternados: horizontal até a curva de equilíbrio, vertical até a linha de operação superior, e assim por diante; conte os degraus até atingir . O número de degraus é o número de estágios teóricos totais (não incluindo condensador e reboiler se for contagem distinta). - A posição do estágio de alimentação ótimo é o estágio onde, no passo-a-passo, ocorre o cruzamento pela q-line — ou dito de outra forma, o estágio na qual o degrau passa pela q-line. Esse estágio é o ponto de introdução da alimentação que minimiza o número de estágios para aquele refluxo.
- Trace o diagrama
- Observação prática: o método McCabe–Thiele é gráfico; para trabalho em prova sem computador você normalmente:
- desenha com régua e papel milimetrado,
- ou realiza o mesmo processo numericamente (passos discretos) em planilha: começa em
, calcula o da curva de equilíbrio para esse , depois calcula novo na linha de operação, etc.
Passo 7
Métodos de atalho para estimar número mínimo de estágios e refluxo mínimo (útil para provas e para estimativas rápidas)
- Fenske (número mínimo de estágios a refluxo total — isto é,
):
onde
é uma volatilidade média (relativa) entre as composições. Para não-ideais use
e calcule uma média logarítmica ou use
na região do corte. Expliquei abaixo como obter
.
- Underwood (refluxo mínimo
para destilação contínua com várias componentes; em binário pode-se usar forma simplificada): resolve uma equação em termos de (constante de Underwood). Para binário, dá-se:
e então
(na prática para binário essa fórmula exige cuidado e costuma-se aplicar a versão detalhada do Underwood ou usar versão simplificada; em prova o enunciado frequentemente dá
ou
ou pede apenas procedimento).
- Gilliland (correlação entre
e para estimativa do número de estágios práticos): - Usa uma função empírica que fornece
quando sabemos e , e . - Em provas você normalmente cita a correlação e aplica se tiver os números.
- Usa uma função empírica que fornece
- Observação prática: para uma mistura não-ideal forte (ácido acético/água), volatilidade relativa
varia muito com composição; usar média pode introduzir erro. Quando a não-idealidade é significativa, o método numérico (McCabe–Thiele com curva de equilíbrio calculada ponto-a-ponto) é preferível.
Passo 8
Como determinar numericamente (em planilha ou programa) a localização ótima da alimentação e o número exato de estágios (roteiro passo-a-passo para aplicar com os dados)
- Entradas que você precisa obter ou que o enunciado deve fornecer:
-
(pressão de operação), (se coluna em regime isotérmico simples) ou função com Antoine. -
(composição da alimentação), (condição da alimentação). -
e (especificações de qualidade do produto). - Refluxo
desejado (ou pedir para achar e depois escolher ).
-
- Monte uma grade de
de 0 a 1 com passo pequeno (ex.: 0,01). - Para cada
calcule com as fórmulas dadas (Passo 3), calcule e então . - Calcule a curva de equilíbrio
conforme Passo 5 e armazene valores. - Escolha
. Se não souber , calcule com Underwood (se aplicável) e então escolha como múltiplo de (por exemplo ). - Monte as linhas de operação numericamente:
- Linha superior:
. - Linha inferior: definida pela interseção da q-line com a linha superior e ligação com
.
- Linha superior:
- Faça stepping numérico:
- Comece em
. Calcule na curva de equilíbrio para esse (interpolando na tabela do passo 4). - Mova horizontalmente até a linha de operação (isto dá novo
). - Mova verticalmente até a curva de equilíbrio (isto dá novo
), e repita. - Conte quantos degraus até chegar a
. Armazene o índice do degrau onde o stepping cruza a q-line: esse índice é o estágio de alimentação (posição do estágio de alimentação, contar a partir do topo normalmente).
- Comece em
- A posição ótima de alimentação é aquela onde o stepping cruza a q-line — se o objetivo for minimizar número de estágios para um dado refluxo essa posição é, de fato, ótima (prática da McCabe–Thiele).
- Se for preciso otimizar também o consumo de vapor/reboiler (energia), o problema vira uma otimização (troca entre
e número de estágios) e pode exigir avaliação do custo energético; em prova normalmente pedem apenas a posição do estágio para um dado.
Passo 9
Cálculo prático de volatilidade relativa
e uso nas fórmulas (como aplicar em prova)
- Para cada composição
defina:
- Se precisar aplicar Fenske para
use uma apropriada (por exemplo avaliada num ponto médio entre e ) e depois:
- Atenção: isso é uma estimativa; para precisão, aplique McCabe–Thiele com a curva de equilíbrio real calculada.
Passo 10
Resumo operacional — o que você faz na prova se te der os números (passo-a-passo curto que você pode seguir e aplicar sem perder tempo)
- Anote
, , , , , e dados de Antoine (ou tabelas). - Calcule
usando (se T não fornecido, será necessário iterar para balanço de energia ou assumir comportamento suficiente — normalmente é obtida da curva de equilíbrio). - Monte tabela
. - Trace ou compute numericamente a curva
. - Calcule
e (Underwood/Fenske) se pedirem estimativas iniciais. - Faça McCabe–Thiele (graficamente ou numericamente) para o
escolhido; conte os estágios. - Localize o estágio de alimentação como o degrau que cruza a q-line no stepping; esse é o estágio ótimo para diminuir número de estágios ao refluxo escolhido.
- Conclua com o número de estágios e a localização do estágio de alimentação (contagem a partir do topo normalmente).
Passo 11
Motivações e dicas para a sua confiança (um empurrão amigo)
- Se você precisa entregar isso na prova, foque em:
- mostrar claramente como calculou
com o modelo dado, - mostrar a construção da curva de equilíbrio (mesmo que por 4–5 pontos),
- aplicar McCabe–Thiele e contar os degraus,
- destacar o estágio onde o degrau cruza a q-line como o local de alimentação.
- mostrar claramente como calculou
- Se o professor exigir números, ele terá fornecido (ou esperado que você use) os dados que eu listei em Passo 8. Sem esses dados não tem número único correto.
- Você está fazendo certo em pedir a resolução passo-a-passo — com essa sequência na cabeça você resolve rapidamente quando tiver os dados.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a localização do estágio de alimentação ótimo nem o número de estágios teóricos porque faltam dados essenciais: pressão de operação
(ou temperatura de operação), composição da alimentação
, condição da alimentação
, composições alvo
e
, e as constantes/valores de
. Forneça esses valores que eu calculo passo a passo e entrego o número de estágios e a posição ótima do estágio de alimentação.