Uma mistura contendo etanol(1), amônia(2) e água(3) está se difundindo em um meio e, num dado ponto, possui a seguinte composição: x_{1}=0.3 e x_{2}=0.55.
Admitindo-se que ela se comporta como uma solução ideal, obtenha uma expressão para o fluxo difusivo das espécies função de \nabla \vec{x}.
O enunciado admite solução ideal, portanto podemos usar as equações de Maxwell–Stefan para mistura ideal e relacionar os fluxos molares difusivos \{N_i\} (em mol·m{-2}·s{-1}, tomados no referencial de velocidade molar média, o que implica \sum_i N_i=0) ao gradiente de frações molares \nabla x_i. A resolução começa agora.
Passo 2
Apresentando a forma essencial das equações de Maxwell–Stefan para mistura ideal (explicando cada termo):
Para mistura ideal, o potencial químico de i é \mu_i=\mu_i^0+RT\ln x_i. Assim \nabla\mu_i=RT\,\nabla\ln x_i=RT\,\dfrac{\nabla x_i}{x_i}.
As equações de Maxwell–Stefan (forma usual) dizem, para cada espécie i,-\nabla \mu_i \;=\; RT\sum_{j\ne i}\dfrac{x_j\,(v_i-v_j)}{\mathfrak{D}_{ij}}.Aqui:
\mathfrak{D}_{ij} é o coeficiente de difusão de Maxwell–Stefan entre i e j (dado),
v_i é a velocidade molar da espécie i,
x_i é a fração molar da espécie i.
Substituindo \nabla\mu_i e cancelando RT:-\dfrac{\nabla x_i}{x_i} \;=\; \sum_{j\ne i}\dfrac{x_j\,(v_i-v_j)}{\mathfrak{D}_{ij}}.
Multiplicando ambos os lados por x_i:-\nabla x_i \;=\; \sum_{j\ne i}\dfrac{x_i x_j\,(v_i-v_j)}{\mathfrak{D}_{ij}}.
Agora passamos para fluxos molares. Definimos o fluxo molar difusivo (relativo à velocidade molar média) comoN_i = c\, x_i\, v_i,onde \displaystyle c é a concentração molar total (mol·m^{-3}) e \sum_i N_i=0. Entãov_i-v_j=\dfrac{N_i}{c x_i}-\dfrac{N_j}{c x_j}=\dfrac{N_i x_j - N_j x_i}{c x_i x_j}.
No caso ternário (i=1,2,3) isso se torna explicitamente a matriz A 3×3. Vou escrever A em termos dos x e \mathfrak{D}, depois coloco os números do problema.
Redução para sistema 2×2 eliminando N_3 com a condição \sum_i N_i=0 (facilita achar N_1,N_2 em função apenas de \nabla x_1,\nabla x_2):
Como \sum_i N_i=0, temos \,N_3=-N_1-N_2.
Substituindo N_3 nas duas primeiras equações \sum_j A_{1j}N_j=-c\nabla x_1 e \sum_j A_{2j}N_j=-c\nabla x_2, obtém-se um sistema 2×2 do tipo M\cdot(N_1,N_2)^T = -c(\nabla x_1,\nabla x_2)^T comM_{11}=A_{11}-A_{13},\quad M_{12}=A_{12}-A_{13},
(os valores são em unidades de \mathrm{(m^{3}·s)·mol^{-1}} multiplicando por 1/c quando necessário; aqui mantemos a forma adimensional relativa ao gradiente porque o fator c aparece explicitamente na expressão final abaixo.)
Interpretação prática e como usar isto na prova (dicas):
A expressão encontrada é a forma linear relacionando gradientes de fração molar com fluxos molares difusivos no referencial de velocidade molar média.
Se for pedida a expressão por unidade de concentração total, uma forma compacta é:\dfrac{1}{c} \begin{pmatrix}N_1\\[2pt]N_2\\[2pt]N_3\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} & B_{13}\\[2pt]B_{21} & B_{22} & B_{23}\\[2pt]B_{31} & B_{32} & B_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\nabla x_1\\[2pt]\nabla x_2\\[2pt]\nabla x_3\end{pmatrix},onde a matriz B=A^{-1}. No nosso trabalho reduzimos para duas componentes independentes (\nabla x_3=-(\nabla x_1+\nabla x_2)) e apresentamos explicitamente os coeficientes numéricos para N_1 e N_2.
Na prova: escreva primeiro as equações de Maxwell–Stefan para mistura ideal, passe para a forma em \{N_i\} usando N_i=c x_i v_i, monte a matriz A (mostre os A_{ij} simbolicamente) e só então substitua números. Isso demonstra que você domina o método.]