Uma mistura binária
possui um coeficiente de difusão de
. Sabendo-se que a não idealidade é bem representada pelo modelo de Margules, obtenha o coeficiente de difusão de Fick.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: o coeficiente de difusão tipo Maxwell–Stefan é
. - Informação: a não idealidade da mistura é descrita por um modelo de Margules com
- Pedido: obter o coeficiente de difusão de Fick
(ou seja, a relação entre o fluxo de espécie e o gradiente de fração molar).
Observações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- Não foi dado o valor de
nem a composição (frações molares) ou . Logo a resposta terá, necessariamente, dependência em e em — não é possível dar um número puro sem esses dados.
Passo 2
Idéia física e a fórmula geral que vamos usar (explicação didática):
- O coeficiente
é o difusivo tipo Maxwell–Stefan: ele relaciona diferenças de velocidade (força motora química) entre as espécies com as forças de fricção. - O coeficiente de Fick
é o que aparece na lei de Fick simples para mistura binária:
onde
é o fluxo molar de
(mol m^{-2} s^{-1}),
é a concentração molar total (mol m^{-3}) e
a fração molar.
- Para misturas não ideais, o vínculo entre
e envolve o fator termodinâmico , que traduz como o gradiente de atividade (ou potencial químico) se relaciona com o gradiente de fração molar. A relação conhecida e amplamente usada é
onde, para uma mistura binária,
- Explicando
em palavras: é a atividade da espécie . O fator mede quanto um pequeno aumento percentual em altera a atividade ; se então um dado gradiente de fração molar gera um gradiente de potencial químico maior (portanto difusão Fickiana efetivamente maior).
Passo 3
Expressar
em termos de
de modo prático (cadeia de derivadas):
- Começamos de
- Como
e pela regra da cadeia , obtemos
Isto é uma forma prática para calcular
quando se conhece
como função de
(ou de
).
Passo 4
Calcular a derivada específica para o modelo de Margules dado:
- O enunciado dá
. Lembrando que , podemos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia:
- Como
, fica mais compacto:
- Agora calculamos
:
- Substituindo em
:
Passo 5
Escrever a expressão final para
e comentar sobre dependências:
- Usando
e o resultado acima, obtemos
- Substituindo o valor numérico de
dado no enunciado:
- Observações importantes:
- Como esperado, se a mistura fosse ideal (
) então e . - Para obter um valor numérico específico é preciso conhecer
e a composição (por exemplo ou ). Sem esses dados só podemos dar a expressão funcional acima. - Em termos de
apenas, usando , a forma alternativa é
- Como esperado, se a mistura fosse ideal (