Uma mistura de gases nobres contendo hélio, argônio e xenônio a pressão de 1,8 \cdot 10^{5} Pa e 350K.
Se os componentes da mistura têm a mesma fração molar determine: a composição em termos de fração mássica e a concentração molar e a densidade.

Passo 1

Dados e o que o exercício pede.
  • Pressão: P=1{,}8\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: T=350\\ \mathrm{K}.
  • Mistura composta por hélio, argônio e xenônio com a mesma fração molar: \;x_{\mathrm{He}}=x_{\mathrm{Ar}}=x_{\mathrm{Xe}}=\tfrac{1}{3}.
    O que pedir:
  • A composição em termos de fração mássica (ou seja, as frações da massa total correspondentes a cada gás).
  • A concentração molar (concentração total de mols por volume, e as concentrações parciais se fizer sentido).
  • A densidade da mistura (massa por volume).
    Informação adicional usada (valores de massas molares, valores padrão):
  • Massa molar do hélio: M_{\mathrm{He}}=4{,}002602\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}004002602\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Massa molar do argônio: M_{\mathrm{Ar}}=39{,}948\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}039948\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Massa molar do xenônio: M_{\mathrm{Xe}}=131{,}293\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}131293\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.

Passo 2

Cálculo da concentração molar total usando a lei dos gases ideais. Aula rápida: a lei dos gases ideais diz que
PV = nRT,
onde \;P é pressão, \;V é volume, \;n é número de mols, \;R é a constante universal dos gases e \;T é a temperatura. Dividindo ambos os lados por V obtemos a concentração molar (mols por volume):
c \equiv \frac{n}{V} = \frac{P}{RT}.
Aqui \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Então calculamos
c=\frac{1{,}8\cdot10^{5}}{8{,}314462618\cdot350}.
Agora a conta: o denominador vale 8{,}314462618\cdot350=2909{,}0619163. Portanto
c \approx \frac{180000}{2909{,}0619163}\approx 61{,}8689\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 3

Concentrações parciais (por espécie). Como as frações molares são iguais e valem \tfrac{1}{3}, a concentração molar de cada componente é
c_i = x_i\,c = \tfrac{1}{3}\,c.
Numericamente,
c_{\mathrm{He}}=c_{\mathrm{Ar}}=c_{\mathrm{Xe}} \approx \tfrac{1}{3}\cdot 61{,}8689 \approx 20{,}62296\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 4

Cálculo da massa molar média da mistura. Aula rápida: a massa molar média de uma mistura é a média ponderada pelas frações molares:
M_{\mathrm{média}}=\sum_{i} x_i M_i.é
Como x_i=\tfrac{1}{3} para cada gás,
M_{\mathrm{média}}=\tfrac{1}{3}\left(M_{\mathrm{He}}+M_{\mathrm{Ar}}+M_{\mathrm{Xe}}\right).é
Usando as massas molares (em g·mol ^{-1} ou kg·mol ^{-1}; aqui uso g·mol ^{-1} para facilitar a verificação e depois converto):
M_{\mathrm{média}}=\tfrac{1}{3}\left(4{,}002602+39{,}948+131{,}293\right)\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=58{,}414534\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.é
Convertendo para kg·mol ^{-1}:
M_{\mathrm{média}}=0{,}058414534\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.é

Passo 5

Cálculo das frações mássicas. Aula rápida: a fração mássica de cada componente w_i é a razão entre a massa desse componente na mistura e a massa total da mistura; em termos de frações molares e massas molares:
w_i=\frac{x_i M_i}{M_{\mathrm{média}}}.é
Como x_i=\tfrac{1}{3}, calculamos cada uma:
Para o hélio,
w_{\mathrm{He}}=\frac{\tfrac{1}{3}M_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{média}}} =\frac{\tfrac{1}{3}\cdot 4{,}002602}{58{,}414534}\approx 0{,}022846.é
Para o argônio,
w_{\mathrm{Ar}}=\frac{\tfrac{1}{3}\cdot 39{,}948}{58{,}414534}\approx 0{,}227865.
Para o xenônio,
w_{\mathrm{Xe}}=\frac{\tfrac{1}{3}\cdot 131{,}293}{58{,}414534}\approx 0{,}749289.
Verificação rápida: w_{\mathrm{He}}+w_{\mathrm{Ar}}+w_{\mathrm{Xe}}\approx 1{,}000000. Podemos também expressar em porcentagem:
w_{\mathrm{He}}\approx 2{,}2846\%,\quad w_{\mathrm{Ar}}\approx 22{,}7865\%,\quad w_{\mathrm{Xe}}\approx 74{,}9289\%.

Passo 6

Cálculo da densidade da mistura. Aula rápida: densidade \rho (massa por volume) pode ser obtida multiplicando a concentração molar total pela massa molar média:
\rho = c\,M_{\mathrm{média}}.é
Usando c\approx 61{,}8689\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}} e M_{\mathrm{média}}=0{,}058414534\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}é,
\rho \approx 61{,}8689\cdot 0{,}058414534 \approx 3{,}6135\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
(Outra forma: somar c_i M_i para cada espécie dá o mesmo resultado.)

Resposta

Fração mássica: w_{\mathrm{He}}=0{,}022846,\;w_{\mathrm{Ar}}=0{,}227865,\;w_{\mathrm{Xe}}=0{,}749289.
Concentração molar: c_{\text{total}}=61{,}8689\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}} (cada componente c_i\approx 20{,}62296\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}).
Densidade: \rho\approx 3{,}6135\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.

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