Uma mistura de gases nobres contendo hélio, argônio e xenônio a pressão de 1,8 \cdot 10^{5} Pa e 350K.
Se os componentes da mistura possuem a mesma fração mássica determine a fração molar e a massa molar média da mistura gasosa.
Passo 1
O enunciado diz: uma mistura de gases nobres contém hélio, argônio e xenônio; a pressão é \,1,8\cdot10^{5}\,\text{Pa} e a temperatura é \,350\,\text{K}. Foi informado que os componentes da mistura possuem a mesma fração mássica.
O que se pede: determinar (1) a fração molar de cada componente e (2) a massa molar média da mistura gasosa.
Informações relevantes dadas e assumidas explicitamente:
Fração mássica igual para os três gases, ou seja cada fração mássica é \,w_{\text{He}}=w_{\text{Ar}}=w_{\text{Xe}}=\tfrac{1}{3}.
A pressão e a temperatura foram dadas, mas não são necessárias para calcular frações molares e massa molar média quando as frações mássicas são conhecidas.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
Fração mássica \,w_i é a razão entre a massa do componente i e a massa total da mistura. É adimensional e satisfaz \sum_i w_i=1.
Fração molar \,x_i é a razão entre o número de mols do componente i e o número total de mols da mistura. Satisfaz \sum_i x_i=1.
A relação entre fração mássica e fração molar: para cada componente i com massa molar \,M_i (unidade por exemplo \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}),
Explicação dessa fórmula: w_i/M_i é proporcional ao número de mols do componente i por unidade de massa da mistura; normalizando por \sum_j w_j/M_j obtemos a fração molar.
A massa molar média da mistura \overline{M} é a média ponderada pelas frações molares:
\overline{M}=\sum_i x_i M_i.
Observação de simplificação útil: se todas as frações mássicas são iguais (aqui há três componentes com a mesma fração mássica), podemos simplificar. Com w_i=1/3 para todos os i,
Esses valores vêm da tabela periódica (valores padrões de massa atômica) e estão em \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}. Manteremos essas unidades e ao final converterei a massa molar média para \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} se você preferir.
Passo 4
Calcule os inversos das massas molares (necessários para a fórmula com frações mássicas iguais):
Verificação rápida: \,x_{\text{He}}+x_{\text{Ar}}+x_{\text{Xe}}\approx 0,8845+0,0886+0,0269=1,0000, ou seja, consistente.
Passo 6
Calcule a massa molar média. Podemos usar \overline{M}=\sum x_i M_i ou a forma simplificada \overline{M}=\dfrac{3}{\sum 1/M_i}. Usando a forma simplificada:
Interpretação final e dica para prova: com frações mássicas iguais a mistura fica dominada em fração molar pelo gás de menor massa molar (aqui o hélio), por isso x_{\text{He}} é grande. A fórmula-chave para lembrar é
x_i=\frac{w_i/M_i}{\sum_j w_j/M_j},
e a simplificação para w_i iguais que usamos. Na prova, use massas molares em \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} para facilitar contas manuais e converta para \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} só se pedirem.