Uma mistura de gases nobres contendo hélio, argônio e xenônio a pressão de 1,8 \cdot 10^{5} Pa e 350K.
Se os componentes da mistura possuem a mesma fração mássica determine a fração molar e a massa molar média da mistura gasosa.

Passo 1

O enunciado diz: uma mistura de gases nobres contém hélio, argônio e xenônio; a pressão é \,1,8\cdot10^{5}\,\text{Pa} e a temperatura é \,350\,\text{K}. Foi informado que os componentes da mistura possuem a mesma fração mássica.
O que se pede: determinar (1) a fração molar de cada componente e (2) a massa molar média da mistura gasosa.
Informações relevantes dadas e assumidas explicitamente:
  • Fração mássica igual para os três gases, ou seja cada fração mássica é \,w_{\text{He}}=w_{\text{Ar}}=w_{\text{Xe}}=\tfrac{1}{3}.
  • A pressão e a temperatura foram dadas, mas não são necessárias para calcular frações molares e massa molar média quando as frações mássicas são conhecidas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
  • Fração mássica \,w_i é a razão entre a massa do componente i e a massa total da mistura. É adimensional e satisfaz \sum_i w_i=1.
  • Fração molar \,x_i é a razão entre o número de mols do componente i e o número total de mols da mistura. Satisfaz \sum_i x_i=1.
  • A relação entre fração mássica e fração molar: para cada componente i com massa molar \,M_i (unidade por exemplo \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}),
x_i=\frac{\dfrac{w_i}{M_i}}{\displaystyle\sum_j \dfrac{w_j}{M_j}}.
Explicação dessa fórmula: w_i/M_i é proporcional ao número de mols do componente i por unidade de massa da mistura; normalizando por \sum_j w_j/M_j obtemos a fração molar.
  • A massa molar média da mistura \overline{M} é a média ponderada pelas frações molares:
\overline{M}=\sum_i x_i M_i.
Observação de simplificação útil: se todas as frações mássicas são iguais (aqui há três componentes com a mesma fração mássica), podemos simplificar. Com w_i=1/3 para todos os i,
x_i=\frac{1/M_i}{\displaystyle\sum_j 1/M_j},
e
\overline{M}=\frac{3}{\displaystyle\sum_j \frac{1}{M_j}}.
(Isto é prático porque evita carregar os w_i.)

Passo 3

Escolha de valores de massa molar e unidades: vou usar massas molares típicas da tabela periódica (unidade \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}):
M_{\text{He}}=4,0026,\qquad M_{\text{Ar}}=39,948,\qquad M_{\text{Xe}}=131,293.
Esses valores vêm da tabela periódica (valores padrões de massa atômica) e estão em \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}. Manteremos essas unidades e ao final converterei a massa molar média para \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} se você preferir.

Passo 4

Calcule os inversos das massas molares (necessários para a fórmula com frações mássicas iguais):
\frac{1}{M_{\text{He}}}=\frac{1}{4,0026}\approx 0,249838,
\frac{1}{M_{\text{Ar}}}=\frac{1}{39,948}\approx 0,025032,
\frac{1}{M_{\text{Xe}}}=\frac{1}{131,293}\approx 0,007617.
Agora somamos esses termos:
\sum_{j}\frac{1}{M_j}\approx 0,249838+0,025032+0,007617=0,282487.

Passo 5

Calcule as frações molares usando
x_i=\frac{1/M_i}{\displaystyle\sum_j 1/M_j}.
Fazendo para cada componente:
Para o hélio:
x_{\text{He}}=\frac{0,249838}{0,282487}\approx 0,8845.
Para o argônio:
x_{\text{Ar}}=\frac{0,025032}{0,282487}\approx 0,0886.
Para o xenônio:
x_{\text{Xe}}=\frac{0,007617}{0,282487}\approx 0,0269.
Verificação rápida: \,x_{\text{He}}+x_{\text{Ar}}+x_{\text{Xe}}\approx 0,8845+0,0886+0,0269=1,0000, ou seja, consistente.

Passo 6

Calcule a massa molar média. Podemos usar \overline{M}=\sum x_i M_i ou a forma simplificada \overline{M}=\dfrac{3}{\sum 1/M_i}. Usando a forma simplificada:
\overline{M}=\frac{3}{0,282487}\approx 10,62\quad\text{(em }\text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\text{)}.
Se você preferir em \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1},
\overline{M}\approx 0,01062\quad\text{(em }\text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\text{)}.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova: com frações mássicas iguais a mistura fica dominada em fração molar pelo gás de menor massa molar (aqui o hélio), por isso x_{\text{He}} é grande. A fórmula-chave para lembrar é
x_i=\frac{w_i/M_i}{\sum_j w_j/M_j},
e a simplificação para w_i iguais que usamos. Na prova, use massas molares em \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} para facilitar contas manuais e converta para \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1} só se pedirem.

Resposta

x_{\text{He}}=0,8845
x_{\text{Ar}}=0,0886
x_{\text{Xe}}=0,0269
\overline{M}=10,62\\ \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}=0,01062\\ \text{kg}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}

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