Uma mistura de partículas esféricas dos materiais A e B será separada utilizando um elutriador utilizando água como fluido de arraste. A faixa de tamanho de partículas dos dois materiais é de
. A densidade dos materiais A e B são, respectivamente, iguais a 7700 e
.
(a) Mostre que uma separação completa não é possível nesse caso. Explique com cálculos apropriados.
(b) Qual a densidade mínima do fluido para separar completamente os dois materiais?
(a) Mostre que uma separação completa não é possível nesse caso. Explique com cálculos apropriados.
(b) Qual a densidade mínima do fluido para separar completamente os dois materiais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre separar uma mistura de partículas esféricas dos materiais A e B usando um elutriador com água como fluido de arraste. As partículas têm tamanhos entre 15 e 40 mm, e as densidades são 7700 kg/m³ para o material A e 2400 kg/m³ para o material B. Vamos usar conceitos de elutrição, que envolve equilíbrio entre forças de arraste e gravitacionais, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a separação ocorre no elutriador. As partículas são separadas com base em sua densidade e tamanho. O fluido de arraste (no caso, a água) exerce uma força que pode levantar partículas mais leves, deixando as mais pesadas caírem. A chave aqui é comparar as “forças de resistência” às partículas para ver se conseguimos separar completamente os materiais A e B.
Passo 3
Para analisar isso, usamos a equação de Stokes para a força de arraste $ F_d $ em uma partícula esférica em movimento através de um fluido viscoso:
Onde:
- $ \eta $ é a viscosidade do fluido,
- $ r $ é o raio da partícula,
- $ v $ é a velocidade da partícula.
No equilíbrio, a força de arraste iguala a força gravitacional efetiva $ F_g $:
Onde:
- $ d $ é o diâmetro da partícula,
- $ \rho_p $ é a densidade da partícula,
- $ \rho_f $ é a densidade do fluido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Para que a separação seja completa, as condições de equilíbrio para os materiais A e B não devem se sobrepor. Isso significa que devemos conseguir encontrar uma densidade do fluido $ \rho_f $ que permita que todas as partículas A sejam separadas das partículas B sem que haja interseção nas suas velocidades relativas.
Vamos considerar a relação entre densidade, tamanho e velocidade para ambas as partículas. Se houver sobreposição nas condições de separação, não será possível separar completamente.
Passo 5
Calculando as velocidades de sedimentação para ambas as partículas usando a equação de equilíbrio $ F_d = F_g $:
Simplificando e resolvendo para $ v $:
Onde $ d = 2r $, então:
Passo 6
Agora, para o material A ($ \rho_A = 7700 $ kg/m³) e para o material B ($ \rho_B = 2400 $ kg/m³), queremos ver se existe uma $ \rho_f $ tal que todas as partículas A sejam mais densas que o fluido e todas as partículas B sejam menos densas. Ou seja:
Mas isso é impossível porque $ \rho_f $ não pode ser simultaneamente menor que 2400 e maior que 7700 kg/m³. Portanto, não há uma densidade de fluido que permita separar completamente os materiais A e B usando água como fluido de arraste.
Passo 7
Além disso, se calculássemos as velocidades para diferentes tamanhos dentro do intervalo de 15 a 40 mm, veríamos que para algumas partículas de A e B, as velocidades se sobrepõem, confirmando que a separação completa não é viável com as condições dadas.
Resposta
(a) Não é possível uma separação completa porque não existe uma densidade do fluido que seja menor que a densidade do material B (2400 kg/m³) e ao mesmo tempo maior que a densidade do material A (7700 kg/m³). Ou seja, não há nenhum fluido que atenda $ \rho_f < 2400 , kg/m³ $ e $ \rho_f > 7700 , kg/m³ $ simultaneamente, impossibilitando a separação completa dos dois materiais.
(b) Como a separação completa não é possível com a água ($ \rho_f = 1000 , kg/m³ $), a densidade mínima do fluido necessária para separar completamente os materiais A e B seria qualquer valor maior que a densidade do material A. Portanto, a densidade mínima do fluido seria ligeiramente acima de 7700 kg/m³.