P 7.6 Mobilidade mu de um gás de portadores de carga é a razão entre sua velocidade de arraste e o campo elétrico aplicado. Ou seja, mu=va / EL. O recorde de mobilidade até hoje obtido foi em um filme de GaAs dopado com Si. A densidade superficial de elétrons - ou seja, o número de elétrons por unidade de área do filme - é de ns=2,0 times 10^15 m^-2 e a mobilidade a baixa temperatura ( 4 kelvins) é mu=2,7 times 10^3 m^2 / Vs. Note que ns=s n. (A) Mostre que a resistência da amostra pode ser expressa na forma
R=Lln 3 e mu
(B) Medidas são feitas em uma prova Hall cuja largura é de 50 mu m, e os pontos de contato para a voltagem longitudinal VL são de 500 mu m. Uma corrente de 1,0 mu A é injetada na prova submetida a um campo magnético de 0,300 T. Calcule as voltagens Hall e longitudinal medidas na prova. Sugestão: considere o Problema 7.4.

Passo 1

O enunciado nos dá um filme bidimensional de GaAs com densidade superficial de elétrons ns e mobilidade mu. Precisamos (A) relacionar a resistência elétrica R com ns, e e mu, e (B) calcular as tensões longitudinal VL e de Hall VH para uma corrente I em presença de um campo magnético B, sabendo que a largura da faixa é W e a distância entre os contatos para VL é L.

Passo 2

Para um gás de portadores bidimensional, a densidade de corrente superficial J está ligada à velocidade de arraste va por
J = ns,e,va
e a mobilidade é definida por
mu = vaEL
onde EL é o campo elétrico longitudinal. Substituindo va=mu EL em J, obtemos
J = ns,e,mu,EL

Passo 3

Definimos a resistividade superficial (resistência por unidade de largura) como
rhos = ELJ
Substituindo o resultado do passo anterior,
rhos = 1ns,e,mu
Para uma amostra retangular de comprimento L e largura W, a resistência é
R = rhos,LW = 1ns,e,mu,LW

Passo 4

Se considerarmos uma faixa de largura unitária ( W=1), a expressão se reduz a
R = Lns,e,mu,
que é justamente a forma pedida.

Passo 5

Agora vamos ao item (B). Usamos a expressão geral
R = Lns,e,mu,W
para calcular a resistência longitudinal entre os contatos separados por L=500,mum=5,0times10^-4, m e largura W=50,mum=5,0times10^-5, m. Com
ns = 2,0times10^15, m^-2, e=1,602times10^-19, C, mu=2,7times10^3,m^2/Vs,
temos primeiro
R = 5,0times10^-4(2,0times10^15)(1,602times10^-19)(2,7times10^3)(5,0times10^-5) approx 11,6 Omega
Logo a tensão longitudinal
VL = I,R = (1,0times10^-6, A),(11,6 Omega) approx 1,16times10^-5, V

Passo 6

Para a tensão de Hall usamos o resultado (sem depender de W):
va = Jns,e = I/Wns,e,
EH = va,B = I,Bns,e,W,
e como VH=EH,W, obtemos
VH = I,Bns,e
Substituindo I=1,0times10^-6, A e B=0,300, T:
VH = 1,0times10^-6times0,300(2,0times10^15)(1,602times10^-19) approx 9,4times10^-4, V

Resposta

(A) R=Lns,e,mu
(B) VLapprox1,16times10^-5, V e VHapprox9,4times10^-4, V.

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