Modele um dispositivo de segunda ordem com resposta sub-amortecida, com tempo de subida
e tempo de pico
, valor final
. Determine a função de transferência e a sua resposta ao degrau no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente modelar um dispositivo de segunda ordem que tem uma resposta sub-amortecida. Isso significa que o sistema oscila um pouco antes de se estabilizar. Além disso, nos dão o tempo de subida (
s), o tempo de pico (
s) e o valor final da resposta (
). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas de segunda ordem, como a função de transferência e a resposta ao degrau, além de usar algumas fórmulas matemáticas para relacionar esses tempos com os parâmetros do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência de um sistema de segunda ordem geralmente é dada por:
Aqui,
é a frequência natural do sistema e
é o fator de amortecimento. Como a resposta é sub-amortecida, sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar os tempos de subida (
) e de pico (
) com os parâmetros
e
. As fórmulas para um sistema sub-amortecido são:
-
Tempo de pico:
-
Tempo de subida (aproximadamente para
a ):
Vamos usar o
para achar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula do tempo de pico para encontrar
em termos de
:
Substituindo
s:
Agora, usamos o tempo de subida para criar outra equação. Aproximadamente:
Substituindo
da equação anterior:
Agora, substituímos
s:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos de volta na equação da
:
Passo 6
Com
e
determinados, podemos escrever a função de transferência:
Passo 7
Agora, vamos ajustar para o valor final da resposta ao degrau,
. Sabemos que para uma entrada de degrau unitário, o ganho de estático é:
Para ajustarmos para
, multiplicamos a função de transferência por
:
Passo 8
Por fim, a resposta ao degrau no tempo para esse sistema pode ser obtida pela transformada inversa de Laplace. A resposta é:
Onde
é um ângulo de fase que depende de
. Para nosso caso específico, a expressão completa seria:
Resposta
A função de transferência é:
E a resposta ao degrau no tempo é:
Onde
representa o ângulo de fase determinado pelo fator de amortecimento.