Modele um dispositivo de segunda ordem com resposta sub-amortecida, com tempo de subida t r=2,2 s e tempo de pico t p=3,2 s, valor final y(infty)=1,8. Determine a função de transferência e a sua resposta ao degrau no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente modelar um dispositivo de segunda ordem que tem uma resposta sub-amortecida. Isso significa que o sistema oscila um pouco antes de se estabilizar. Além disso, nos dão o tempo de subida ( tr = 2,2 s), o tempo de pico ( tp = 3,2 s) e o valor final da resposta ( y(infty) = 1,8). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas de segunda ordem, como a função de transferência e a resposta ao degrau, além de usar algumas fórmulas matemáticas para relacionar esses tempos com os parâmetros do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência de um sistema de segunda ordem geralmente é dada por:
H(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Aqui, omegan é a frequência natural do sistema e zeta é o fator de amortecimento. Como a resposta é sub-amortecida, sabemos que 0 < zeta < 1.

Passo 3

Agora, vamos relacionar os tempos de subida ( tr) e de pico ( tp) com os parâmetros omegan e zeta. As fórmulas para um sistema sub-amortecido são:
  • Tempo de pico:
    tp = piomegan raiz1 - zeta^2
  • Tempo de subida (aproximadamente para 0 a 100%):
    tr approx pi - arccos(zeta)omegan raiz1 - zeta^2
Vamos usar o tp para achar uma relação entre omegan e zeta.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula do tempo de pico para encontrar omegan em termos de zeta:
omegan = pitp raiz1 - zeta^2
Substituindo tp = 3,2 s:
omegan = pi3,2 raiz1 - zeta^2
Agora, usamos o tempo de subida para criar outra equação. Aproximadamente:
tr approx pi - arccos(zeta)omegan raiz1 - zeta^2
Substituindo omegan da equação anterior:
tr approx pi - arccos(zeta)pi3,2 raiz1 - zeta^2 raiz1 - zeta^2 = 3,2 (pi - arccos(zeta)pi)
Agora, substituímos tr = 2,2 s:
2,2 = 3,2 (pi - arccos(zeta)pi)
Resolvendo para zeta:
2,23,2 = pi - arccos(zeta)pi 2,23,2 pi = pi - arccos(zeta) arccos(zeta) = pi - 2,23,2 pi = pi (1 - 2,23,2) = pi (116) zeta = cos(pi16) approx 0,9808

Passo 5

Agora que temos zeta approx 0,9808, substituímos de volta na equação da omegan:
omegan = pi3,2 raiz1 - (0,9808)^2 raiz1 - 0,9817 = raiz1 - 0,9621 = raiz0,0379 approx 0,1947 omegan approx 3,14163,2 times 0,1947 approx 3,14160,62304 approx 5,04 , rad/s

Passo 6

Com omegan e zeta determinados, podemos escrever a função de transferência:
H(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 = (5,04)^2s^2 + 2 times 0,9808 times 5,04 , s + (5,04)^2 = 25,40s^2 + 9,90 s + 25,40

Passo 7

Agora, vamos ajustar para o valor final da resposta ao degrau, y(infty) = 1,8. Sabemos que para uma entrada de degrau unitário, o ganho de estático é:
lims to 0 H(s) = omegan^2omegan^2 = 1
Para ajustarmos para y(infty) = 1,8, multiplicamos a função de transferência por 1,8:
H(s) = 1,8 times 25,40s^2 + 9,90 s + 25,40 = 45,72s^2 + 9,90 s + 25,40

Passo 8

Por fim, a resposta ao degrau no tempo para esse sistema pode ser obtida pela transformada inversa de Laplace. A resposta é:
y(t) = 1,8 (1 - 1raiz1 - zeta^2 e^-zeta omegan t sin(omegan raiz1 - zeta^2 , t + phi))
Onde phi é um ângulo de fase que depende de zeta. Para nosso caso específico, a expressão completa seria:
y(t) = 1,8 (1 - 1raiz1 - (0,9808)^2 e^-0,9808 times 5,04 , t sin(5,04 raiz1 - (0,9808)^2 , t + phi))

Resposta

A função de transferência é:
H(s) = 45,72s^2 + 9,90 , s + 25,40
E a resposta ao degrau no tempo é:
y(t) = 1,8 (1 - 1raiz1 - 0,9808^2 e^-0,9808 times 5,04 , t sin(5,04 raiz1 - 0,9808^2 , t + phi))
Onde phi representa o ângulo de fase determinado pelo fator de amortecimento.

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