Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
G(s)=41s^2+41 e^-0,1 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem sem condições iniciais. Nosso sistema é dado por:
G(s) = 41s^2 + 41 e^-0,1 s
Aqui, estamos lidando com um sistema de segunda ordem com um atraso de tempo (o termo ). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas de segunda ordem, resposta ao degrau, erro estacionário e, se aplicável, características como tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobressinal e magnitude máxima. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o nosso sistema desconsiderando o atraso de tempo para facilitar a análise inicial. Assim, temos:
G(s) = 41s^2 + 41
Esse é um sistema de segunda ordem padrão, cuja função de transferência pode ser comparada com a forma geral:
G(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Onde:
  • 2 zeta omegan = 0 e omegan^2 = 41 é a frequência natural.
  • omegan = raiz41 approx 6,4 , rad/s é o coeficiente de amortecimento.
Comparando as duas equações, vemos que:
Então, temos:
E como , isso implica que . Portanto, o sistema é não amortecido inicialmente. Mas vamos verificar mais detalhes.

Passo 3

Agora, consideramos o atraso de tempo . Esse termo representa um atraso puro de 0,1 segundos no sistema. Embora o atraso não afete os parâmetros de amortecimento e frequência natural, ele introduz um atraso na resposta ao degrau.
Para a análise das características como tempo de subida e sobressinal, vamos focar na parte sem o atraso, já que o atraso apenas desloca a resposta no tempo.

Passo 4

Vamos determinar a resposta ao degrau desse sistema. A resposta ao degrau de um sistema sem amortecimento ( G(s) = 41 e^-0,1 ss^2 + 41 ) é uma oscilação indefinida, já que não há amortecimento para dissipar a energia. No entanto, como nosso sistema tem um atraso de tempo, isso introduz um deslocamento na resposta.
A função de transferência com atraso pode ser escrita como:
C(t) = L^-1 41 e^-0,1 ss (s^2 + 41)
A resposta ao degrau é dada pela transformada inversa de Laplace de multiplicada pela transformada de Laplace do degrau unitário, que é :
Essa inversa envolve convolução devido ao atraso, mas para simplificação, podemos dizer que a resposta ao degrau será uma função senoidal iniciando após 0,1 segundos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro estacionário. O erro estacionário para um sistema de malha fechada sob um degrau pode ser calculado usando o Teorema do Valor Final:
ess = lims to 0 s cdot E(s)
Onde T(s) = G(s)1 + G(s) é a transformada de Laplace do erro. Para um sistema em malha fechada com função de transferência E(s) = 11 + G(s) cdot 1s e entrada E(s) = 11 + 41 e^-0,1 ss^2 + 41 cdot 1s , a função de transferência em malha fechada é:
E(s) = 11 + 41s^2 + 41 cdot 1s = s^2 + 41s^2 + 41 + 41 cdot 1s = s^2 + 41s^2 + 82 cdot 1s
Portanto:
ess = lims to 0 s cdot s^2 + 41s^2 + 82 cdot 1s = lims to 0 s^2 + 41s^2 + 82 = 4182 = 0,5
Substituindo , temos:
Para simplificar, consideramos o caso sem atraso:
Aplicando o limite:
Então, o erro estacionário é 0,5.

Passo 6

Como a resposta é subamortecida ( tp = piomegan raiz1 - zeta^2 ), vamos determinar os seguintes parâmetros:
  • Tempo de subida (Rise Time, OS = e^-zeta piraiz1 - zeta^2 times 100% ): É o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final.
  • Tempo de pico (Peak Time, ts approx 4zeta omegan (para 2%) ): É o tempo até o primeiro pico da resposta.
  • Tempo de acomodação (Settling Time, ): É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma certa margem (3% ou 2%) do valor final.
  • Sobressinal (Overshoot, ): É a porcentagem que a resposta excede o valor final.
  • Magnitude máxima (Maximum Magnitude): É o valor máximo que a resposta atinge.
Para calcular esses parâmetros, usamos as seguintes fórmulas para sistemas subamortecidos ( ):
Como , algumas dessas fórmulas se tornam inviáveis (divisão por zero). Isso indica que o sistema é criticamente amortecido e não possui sobressinal ou oscilação, o que contraria nossa análise inicial. Parece que houve uma contradição na determinação de .
Na verdade, ao comparar , observamos que o sistema é subamortecido pois o denominador não tem termo linear (amortecimento). Portanto, considerando que , o sistema é não amortecido.
Isso implica que o sistema idealmente oscila indefinidamente sem amortecimento, mas na prática, algum amortecimento é sempre presente. Para fins de cálculo, vamos supor um pequeno amortecimento, digamos , para prosseguir com os cálculos.

Passo 7

Assumindo tp = piomegan raiz1 - zeta^2 = pi6,4 raiz1 - 0,01 approx 3,146,4 times 0,995 approx 0,49 , s e OS = e^-zeta piraiz1 - zeta^2 times 100% = e^-0,1 times 3,14raiz0,99 approx e^-0,316 times 100% approx 73,% , vamos calcular os parâmetros:
  1. Tempo de pico ts = 4zeta omegan = 40,1 times 6,4 approx 6,25 , s :
ts = 5zeta omegan = 50,1 times 6,4 approx 7,81 , s
  1. Sobressinal Magnitude Máxima = 1 + OS100 = 1 + 0,73 = 1,73 :
  1. Tempo de acomodação para 3% ( ):
  1. Tempo de acomodação para 2% ( ):
  1. Magnitude máxima: Para sistemas subamortecidos, a magnitude máxima ocorre no tempo de pico e é igual a :
á

Passo 8

Finalmente, resumindo nossos cálculos:
  • Resposta ao degrau: Uma oscilação iniciando após 0,1 segundos devido ao atraso, com frequência natural aproximadamente 6,4 rad/s.
  • Erro estacionário: 0,5
  • Tempo de pico : ~0,49 s
  • Sobressinal : ~73%
  • Tempo de acomodação para 3%: ~6,25 s
  • Tempo de acomodação para 2%: ~7,81 s
  • Magnitude máxima: 1,73

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é uma oscilação iniciando após 0,1 segundos devido ao atraso, com erro estacionário de 0,5. Considerando um pequeno amortecimento ( ), temos:
  • Tempo de pico: aproximadamente 0,49 segundos
  • Sobressinal: cerca de 73%
  • Tempo de acomodação para 3%: aproximadamente 6,25 segundos
  • Tempo de acomodação para 2%: aproximadamente 7,81 segundos
  • Magnitude máxima: 1,73

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