Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
ddoty+doty+2 y=1,8 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. O objetivo é determinar e esboçar a resposta ao degrau desse sistema, encontrar o erro estacionário, e caso a resposta seja subamortecida, calcular o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, além do sobre-sinal e da magnitude máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de sistemas dinâmicos e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
ddoty + doty + 2y = 1.8x
Aqui, é a saída, é a entrada, e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.

Passo 3

Para analisar a resposta ao degrau, consideramos como uma função de degrau unitário, ou seja, para .

Passo 4

Vamos reescrever a equação diferencial considerando ddoty + doty + 2y = 1.8 :
ddoty + doty + 2y = 0
A equação homogênea associada é:

Passo 5

Encontramos as raízes características da equação homogênea resolvendo a equação característica:
r^2 + r + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm raiz-72 = -12 pm jraiz72
Isso indica que o sistema é subamortecido, pois há partes imaginárias.

Passo 6

A solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = e^-12t( C1 cos(raiz72t) + C2 sin(raiz72t) )
Como não temos condições iniciais, consideramos e como zero, então a resposta particular será nossa solução.

Passo 7

Para a solução particular, consideramos ddotyp + dotyp + 2yp = 1.8 , já que a entrada é um degrau constante:
2yp = 1.8 implies yp = 0.9
Como e , temos:

Passo 8

A resposta total do sistema é a soma da resposta homogênea e particular. Como a resposta homogênea decai com o tempo, a resposta ao degrau será:
y(t) = 0.9 + e^-12t( C1 cos(raiz72t) + C2 sin(raiz72t) )
Como não há condições iniciais, suponhamos que e , o que nos dá e .

Passo 9

Então, a resposta ao degrau fica:
y(t) = 0.9(1 - e^-12tcos(raiz72t))
Isso descreve a resposta oscilatória que se estabiliza em 0.9.

Passo 10

Para encontrar o erro estacionário, calculamos a diferença entre o valor final e o valor desejado. Aqui, o sistema alcança 0.9, então se considerarmos que o degrau é 1.8x=1.8*1=1.8, o erro seria:
Erro estacionário = 1.8 - 0.9 = 0.9 á
No entanto, isso depende do contexto da entrada. Se for 1, então o erro é 0.9.

Passo 11

Agora, vamos calcular os parâmetros para a resposta subamortecida:
  • Frequência natural 2 = omegan^2 implies omegan = raiz2 e coeficiente de amortecimento 1 = 2zetaomegan implies zeta = 12omegan = 12raiz2 :
    A equação característica é , onde:
  • Tempo de subida ( ): Tempo para a resposta ir de 10% a 90% do valor final.
  • Tempo de pico ( ): Tempo para alcançar o primeiro pico da sobreposição.
  • Tempo de acomodação ( ): Tempo para a resposta permanecer dentro de uma banda de 3% ou 2% do valor final.
  • Sobre-sinal ( ): Percentual acima do valor final.
  • Magnitude máxima: Valor máximo atingido pela resposta.

Passo 12

Calculando o tempo de pico:
tp = piomegan raiz1 - zeta^2 = piraiz2 raiz1 - (12raiz2)^2 approx 2.22 , s

Passo 13

Calculando o sobre-sinal ( S = e^-zeta piraiz1 - zeta^2 times 100% approx e^-12raiz2 piraiz1 - (12raiz2)^2 approx 30% ):

Passo 14

Calculando os tempos de acomodação para 3% e 2%:
ts(3%) = 4zeta omegan approx 412raiz2 times raiz2 = 8 , s
ts(2%) = 4zeta omegan times ln(20.02) approx 8 times ln(100) approx 8 times 4.605 approx 36.84 , s

Passo 15

Finalmente, o tempo de subida ( tr approx pi - arccos(zeta)omegan raiz1 - zeta^2 approx 1.11 , s ) pode ser estimado como:

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é:
y(t) = 0.9(1 - e^-12tcos(raiz72t))
O erro estacionário �� 0.9. Como a resposta é subamortecida, os parâmetros são:
  • Tempo de subida ( ): aproximadamente 1.11 segundos
  • Tempo de pico ( ): aproximadamente 2.22 segundos
  • Tempo de acomodação para 3% ( ): 8 segundos
  • Tempo de acomodação para 2% ( ): aproximadamente 36.84 segundos
  • Sobre-sinal ( ): 30%
  • Magnitude máxima: 1.3 vezes o valor final

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