Considere sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau. Determine o erro estacionário para a resposta ao degrau (no caso de resposta oscilatória não se aplica). Caso a resposta seja sub-amortecida, determine o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, sobressinal e magnitude máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre sistemas de segunda ordem sem condições iniciais. O objetivo é determinar e esboçar a resposta ao degrau desse sistema, encontrar o erro estacionário, e caso a resposta seja subamortecida, calcular o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação para 3% e 2%, além do sobre-sinal e da magnitude máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de sistemas dinâmicos e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
Aqui,
é a saída,
é a entrada, e os pontos indicam derivadas em relação ao tempo.
Passo 3
Para analisar a resposta ao degrau, consideramos
como uma função de degrau unitário, ou seja,
para
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação diferencial considerando
:
A equação homogênea associada é:
Passo 5
Encontramos as raízes características da equação homogênea resolvendo a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso indica que o sistema é subamortecido, pois há partes imaginárias.
Passo 6
A solução geral da equação homogênea é:
Como não temos condições iniciais, consideramos
e
como zero, então a resposta particular será nossa solução.
Passo 7
Para a solução particular, consideramos
, já que a entrada é um degrau constante:
Como
e
, temos:
Passo 8
A resposta total do sistema é a soma da resposta homogênea e particular. Como a resposta homogênea decai com o tempo, a resposta ao degrau será:
Como não há condições iniciais, suponhamos que
e
, o que nos dá
e
.
Passo 9
Então, a resposta ao degrau fica:
Isso descreve a resposta oscilatória que se estabiliza em 0.9.
Passo 10
Para encontrar o erro estacionário, calculamos a diferença entre o valor final e o valor desejado. Aqui, o sistema alcança 0.9, então se considerarmos que o degrau é 1.8x=1.8*1=1.8, o erro seria:
No entanto, isso depende do contexto da entrada. Se
for 1, então o erro é 0.9.
Passo 11
Agora, vamos calcular os parâmetros para a resposta subamortecida:
-
Frequência natural
e coeficiente de amortecimento :
A equação característica é, onde: -
Tempo de subida (
): Tempo para a resposta ir de 10% a 90% do valor final. -
Tempo de pico (
): Tempo para alcançar o primeiro pico da sobreposição. -
Tempo de acomodação (
): Tempo para a resposta permanecer dentro de uma banda de 3% ou 2% do valor final. -
Sobre-sinal (
): Percentual acima do valor final. -
Magnitude máxima: Valor máximo atingido pela resposta.
Passo 12
Calculando o tempo de pico:
Passo 13
Calculando o sobre-sinal (
):
Passo 14
Calculando os tempos de acomodação para 3% e 2%:
Passo 15
Finalmente, o tempo de subida (
) pode ser estimado como:
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é:
O erro estacionário �� 0.9. Como a resposta é subamortecida, os parâmetros são:
- Tempo de subida (
): aproximadamente 1.11 segundos - Tempo de pico (
): aproximadamente 2.22 segundos - Tempo de acomodação para 3% (
): 8 segundos - Tempo de acomodação para 2% (
): aproximadamente 36.84 segundos - Sobre-sinal (
): 30% - Magnitude máxima: 1.3 vezes o valor final