Modele a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem atrito, onde a massa é de 1 kg e a constante da mola é de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: modelar a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola sem atrito, com os dados fornecidos.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- massa:
. - constante da mola:
.
O objetivo final aqui é obter a equação diferencial que governa a posição da massa ao longo do tempo,.
Passo 2
Definir a variável e a convenção de sinais (isso é importante para não se perder na prova).
- Seja
a posição da massa em relação à posição de equilíbrio da mola, medida em metros. - Adotamos a convenção:
quando a massa está deslocada para a direita (esticando ou comprimindo a mola), para a esquerda.
Com essa convenção, a mola gera uma força que sempre puxa a massa de volta ao equilíbrio — ou seja, a força elástica aponta no sentido contrário do deslocamento.
Passo 3
Apresentar a lei que dá a força da mola (Lei de Hooke) e explicar ela de forma simples.
A Lei de Hooke diz que a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. Em fórmula:
A Lei de Hooke diz que a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. Em fórmula:
onde:
-
é a constante elástica da mola ( ), -
é o deslocamento ( ), - o sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).
Passo 4
Apresentar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento unidimensional e explicar.
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à soma das forças resultantes:
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à soma das forças resultantes:
Aqui
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo). No nosso sistema sem atrito, a única força horizontal é a força da mola.
Passo 5
Combinar a Lei de Hooke com a segunda lei de Newton (a parte essencial do modelo).
Somando as ideias dos passos anteriores, a força resultante é , então:
Somando as ideias dos passos anteriores, a força resultante é
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento antes de substituir os valores numéricos.
Passo 6
Substituir os valores dados (
e
) e simplificar a equação.
Colocando os números na equação do passo anterior:
Colocando os números na equação do passo anterior:
Dividindo ambos os lados por
(que não altera nada), obtemos a forma padrão:
Explicação simples: é uma equação diferencial linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes — muito comum para oscilações.
Passo 7
Interpretar parâmetros físicos e escrever a forma padrão com a frequência angular.
A equação padrão para uma oscilação livre sem amortecimento é
A equação padrão para uma oscilação livre sem amortecimento é
onde
é a frequência angular. Comparando com a equação encontrada, tem-se:
Significado físico:
determina quão rápida é a oscilação. A partir de
também podemos obter período e frequência:
Passo 8
Resolver a equação diferencial de forma geral (útil para aplicar condições iniciais na prova).
Método rápido: técnica de equação característica. Para
Método rápido: técnica de equação característica. Para
assumimos solução exponencial e obtemos a equação característica
Sendo raízes complexas puras, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais (por exemplo,
e
). Explicando como achar essas constantes: se
e
, então
Isso vem de avaliar
(dá
) e
e avaliar em
para obter
.