Modele a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem atrito, onde a massa é de 1 kg e a constante da mola é de 9 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O que o enunciado pede: modelar a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola sem atrito, com os dados fornecidos.
Dados fornecidos:
  • massa: \,m=1\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: \,k=9\\ \mathrm{N/m}.
    O objetivo final aqui é obter a equação diferencial que governa a posição da massa ao longo do tempo, \,x(t).

Passo 2

Definir a variável e a convenção de sinais (isso é importante para não se perder na prova).
  • Seja \,x(t) a posição da massa em relação à posição de equilíbrio da mola, medida em metros.
  • Adotamos a convenção: \,x>0 quando a massa está deslocada para a direita (esticando ou comprimindo a mola), \,x<0 para a esquerda.
    Com essa convenção, a mola gera uma força que sempre puxa a massa de volta ao equilíbrio — ou seja, a força elástica aponta no sentido contrário do deslocamento.

Passo 3

Apresentar a lei que dá a força da mola (Lei de Hooke) e explicar ela de forma simples.
A Lei de Hooke diz que a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. Em fórmula:
F_{\text{mola}} = -k\,x(t),
onde:
  • \,k é a constante elástica da mola ( \mathrm{N/m}),
  • \,x(t) é o deslocamento ( \mathrm{m}),
  • o sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento).

Passo 4

Apresentar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento unidimensional e explicar.
A segunda lei de Newton diz que a massa vezes a aceleração é igual à soma das forças resultantes:
m\,\ddot{x}(t) = \sum F.
Aqui \,\ddot{x}(t) é a aceleração (segunda derivada de \,x(t) em relação ao tempo). No nosso sistema sem atrito, a única força horizontal é a força da mola.

Passo 5

Combinar a Lei de Hooke com a segunda lei de Newton (a parte essencial do modelo).
Somando as ideias dos passos anteriores, a força resultante é -k\,x(t), então:
m\,\ddot{x}(t) = -k\,x(t).
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento antes de substituir os valores numéricos.

Passo 6

Substituir os valores dados ( \,m=1 e \,k=9) e simplificar a equação.
Colocando os números na equação do passo anterior:
1\cdot \ddot{x}(t) = -9\,x(t).
Dividindo ambos os lados por \,1 (que não altera nada), obtemos a forma padrão:
\ddot{x}(t) + 9\,x(t) = 0.
Explicação simples: é uma equação diferencial linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes — muito comum para oscilações.

Passo 7

Interpretar parâmetros físicos e escrever a forma padrão com a frequência angular.
A equação padrão para uma oscilação livre sem amortecimento é
\ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0,
onde \,\omega é a frequência angular. Comparando com a equação encontrada, tem-se:
\omega^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad \omega = 3\\ \text{(rad/s)}.
Significado físico: \,\omega determina quão rápida é a oscilação. A partir de \,\omega também podemos obter período e frequência:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3}{2\pi}.

Passo 8

Resolver a equação diferencial de forma geral (útil para aplicar condições iniciais na prova).
Método rápido: técnica de equação característica. Para
\ddot{x} + 9x = 0,
assumimos solução exponencial e obtemos a equação característica
r^2 + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 3\mathrm{i}.
Sendo raízes complexas puras, a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
x(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t),
onde \,C_1 e \,C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (por exemplo, \,x(0) e \dot{x}(0)). Explicando como achar essas constantes: se \,x(0)=x_0 e \,\dot{x}(0)=v_0, então
C_1 = x_0,\qquad C_2 = \frac{v_0}{3}.
Isso vem de avaliar x(0) (dá C_1) e \dot{x}(t)= -3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t) e avaliar em t=0 para obter v_0=3C_2.

Resposta

\ddot{x}(t) + 9\,x(t) = 0
\displaystyle x(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t)

Exercícios relacionados