Modele matematicamente as situações abaixo através de EDOs e resolva-as:
(Tsunami)
a) Um modelo simples para a forma de uma tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
onde é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa. Por inspeção, ache todas as soluções constantes da ED.
b) Resolva a equação diferencial do item (a) separando as variáveis.
c) Determine a solução que satisfaz a condição inicial .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele fornece. (Repare que peguei as informações diretamente do enunciado que você enviou.)
  • O enunciado pede três coisas:
    1. (a) achar todas as soluções constantes da equação diferencial dada;
    2. (b) resolver a equação diferencial separando variáveis;
    3. (c) determinar a solução que satisfaz a condição inicial dada.
  • O enunciado refere-se a “um modelo simples para a forma de uma tsunami” e diz que “onde é a altura da onda…” — porém o enunciado, conforme foi recebido, NÃO contém a forma explícita da equação diferencial (ou seja, a fórmula que relaciona a derivada de h a h ou a x está ausente).
  • Além disso, a condição inicial mencionada em (c) também não apareceu no texto enviado (está em branco).
Portanto, o enunciado tal como chegou deixa em falta os dados essenciais: a própria equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Por que isso impede uma solução direta do problema?
  • Para responder (a) e (b) é imprescindível conhecer a equação diferencial. Por exemplo, as soluções constantes (chamadas também de soluções de equilíbrio) são obtidas resolvendo a equação que anula a derivada — mas sem a expressão da derivada não há como escrever essa equação.
  • Para (c) é necessário conhecer tanto a solução geral (obtida em (b)) quanto a condição inicial concreta para fixar a constante de integração. Sem a condição inicial não se pode fornecer a única solução que satisfaça esse dado.
  • Portanto, com os dados que chegaram é impossível calcular as soluções pedidas de forma específica.
Ainda assim, para te ajudar de verdade na prova, vou explicar passo a passo o método correto que se usa quando a equação fornecida é do tipo separável (que é o que o enunciado pede em (b)). Vou também mostrar exemplos totalmente resolvidos para que você consiga aplicar o procedimento rapidamente se receber a equação exata na prova.

Passo 3

O que são “soluções constantes” e como encontrá-las (método geral)
  • Se a equação diferencial for do tipo \dfrac{dh}{dx}=F(h) (dependência somente de h), uma solução constante é uma função h(x) que não varia com x. Isso significa \dfrac{dh}{dx}=0 para toda x.
  • Para achar todas as soluções constantes basta resolver
F(h)=0.
As raízes dessa equação são os valores constantes h(x)\equiv h_{*} que satisfazem a EDO.
  • Exemplo conceitual: se \dfrac{dh}{dx}=k\,h então F(h)=k\,h e as soluções constantes satisfazem k\,h=0\Rightarrow h=0. Se \dfrac{dh}{dx}=k\,h(1-h/H) então as soluções constantes são h=0 e h=H.

Passo 4

Separação de variáveis: explicação didática e fórmula geral
  • Suponha que a EDO seja realmente separável, isto é, que possa ser escrita na forma
\frac{dh}{dx}=F(h)\,,
onde F depende somente de h. (Muitos modelos simples de perfil de onda ou evolução espacial podem ser deste tipo.)
  • Passo a passo para separar e integrar:
    1. Colocar os termos com h do lado esquerdo e x do lado direito:
    \frac{1}{F(h)}\,dh = dx.
    1. Integrar ambos os lados:
    \int \frac{1}{F(h)}\,dh = \int dx = x + C,onde C é constante de integração.
    3. Resolver a integral à esquerda. O resultado pode ser uma expressão explícita G(h)=x+C (solução implícita) e, quando possível, isolar h para obter h(x) explicitamente.
  • Para aplicar uma condição inicial do tipo h(x_{0})=h_{0}, substitui-se x=x_{0} e h=h_{0} em G(h)=x+C para determinar C. Em seguida obtém-se a solução única que satisfaz essa condição (se as hipóteses de existência/uniqueness forem atendidas).

Passo 5

Dicas práticas para calcular as integrais sem calculadora na prova
  • Identifique fatores que permitam decomposição em frações parciais (caso F(h) seja polinomial). Ex.: se F(h)=k\,h(1-h/H), então
\frac{1}{F(h)}=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{h(1-h/H)}
e faz-se frações parciais para integrar.
  • Se F(h) for proporcional a h ( F(h)=k h), a integral é \int \dfrac{1}{k h}\,dh=\dfrac{1}{k}\ln|h|.
  • Se F(h) for proporcional a h^{2} ( F(h)=k h^{2}), a integral é \int h^{-2}\,dh=-h^{-1}.
  • Sempre escreva cada passo (separação, integral, constante) — isso conta muito na correção e ajuda a evitar erros.

Passo 6

Exemplo 1 (caso linear): resolução completa de \dfrac{dh}{dx}=k\,h (com k constante)
  • Soluções constantes: resolver k\,h=0\Rightarrow h=0. Logo a única solução constante é \,h(x)\equiv 0.
  • Separação de variáveis:
\frac{1}{h}\,dh = k\,dx.
  • Integrando:
\int \frac{1}{h}\,dh = \int k\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|h| = kx + C.
  • Isolando h:
h(x)=A e^{kx},\quad\text{onde }A=\pm e^{C}.
  • Aplicando condição inicial do tipo h(0)=h_{0}:
h(0)=A e^{0}=A=h_{0}\quad\Rightarrow\quad h(x)=h_{0} e^{kx}.
Interpretação: crescimento/exponencial ou decaimento exponencial dependendo do sinal de k.

Passo 7

Exemplo 2 (caso quadrático): resolução completa de \dfrac{dh}{dx}=k\,h^{2} (com k constante)
  • Soluções constantes: resolver k\,h^{2}=0\Rightarrow h=0. Então h\equiv 0 é a única constante.
  • Separação:
h^{-2}\,dh = k\,dx.
  • Integrando:
\int h^{-2}\,dh = \int k\,dx \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{h} = kx + C.
  • Isolando h:
h(x) = -\frac{1}{kx + C}.
  • Aplicando condição inicial h(x_{0})=h_{0}:
-\frac{1}{k x_{0}+C}=h_{0}\quad\Rightarrow\quad C = -\frac{1}{h_{0}} - k x_{0}.
Então
h(x) = -\frac{1}{k x -\dfrac{1}{h_{0}} - k x_{0}} = \frac{1}{\dfrac{1}{h_{0}} + k(x-x_{0}) }.
(Observação: aqui usei manipulação algébrica para obter uma forma mais limpa; preste atenção ao sinal de h_{0}.)

Passo 8

Exemplo 3 (logístico): resolução de \dfrac{dh}{dx}=k\,h\bigl(1-\dfrac{h}{H}\bigr)
  • Soluções constantes: resolver k\,h(1-h/H)=0\Rightarrow h=0 ou h=H.
  • Separação e frações parciais:
\frac{1}{h(1-h/H)}\,dh = k\,dx.
Escreve-se
\frac{1}{h(1-h/H)} = \frac{1}{h} + \frac{1}{H-h}\cdot\frac{1}{1}\quad\text{(ajustando sinais e constantes)}.
(Procede-se com frações parciais padrão.)
  • Integral leva à solução logística conhecida:
h(x) = \frac{H}{1 + A e^{-k x}},
onde A é constante determinada por h(x_{0})=h_{0}:
A = \frac{H-h_{0}}{h_{0}} e^{k x_{0}}.
Este modelo dá uma onda (ou perfil) que se aproxima de H e tem crescimento limitado — às vezes útil para modelos com saturação.

Passo 9

Resumo do procedimento que tens de aplicar na prova (passo a passo rápido)
  1. Identifica a forma da EDO. Se for \dfrac{dh}{dx}=F(h), é separável.
  2. Ache soluções constantes resolvendo F(h)=0.
  3. Separe variáveis: \dfrac{1}{F(h)}dh=dx.
  4. Integre ambos os lados, obtenha G(h)=x+C.
  5. Isole h (se possível) para escrever h(x).
  6. Use a condição inicial para encontrar C e obter a solução particular.
  7. Verifique domínio (por exemplo, evitar divisão por zero) e interprete fisicamente.

Resposta

Não é possível determinar as soluções pedidas porque a equação diferencial e a condição inicial não foram fornecidas no enunciado.

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