Modele matematicamente as situações abaixo através de EDOs e resolva-as:
(Tsunami)
a) Um modelo simples para a forma de uma tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
onde é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa. Por inspeção, ache todas as soluções constantes da ED.
b) Resolva a equação diferencial do item (a) separando as variáveis.
c) Determine a solução que satisfaz a condição inicial .
(Tsunami)
a) Um modelo simples para a forma de uma tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
b) Resolva a equação diferencial do item (a) separando as variáveis.
c) Determine a solução que satisfaz a condição inicial .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele fornece. (Repare que peguei as informações diretamente do enunciado que você enviou.)
- O enunciado pede três coisas:
- (a) achar todas as soluções constantes da equação diferencial dada;
- (b) resolver a equação diferencial separando variáveis;
- (c) determinar a solução que satisfaz a condição inicial dada.
- O enunciado refere-se a “um modelo simples para a forma de uma tsunami” e diz que “onde é a altura da onda…” — porém o enunciado, conforme foi recebido, NÃO contém a forma explícita da equação diferencial (ou seja, a fórmula que relaciona a derivada de
a ou a está ausente). - Além disso, a condição inicial mencionada em (c) também não apareceu no texto enviado (está em branco).
Portanto, o enunciado tal como chegou deixa em falta os dados essenciais: a própria equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Por que isso impede uma solução direta do problema?
- Para responder (a) e (b) é imprescindível conhecer a equação diferencial. Por exemplo, as soluções constantes (chamadas também de soluções de equilíbrio) são obtidas resolvendo a equação que anula a derivada — mas sem a expressão da derivada não há como escrever essa equação.
- Para (c) é necessário conhecer tanto a solução geral (obtida em (b)) quanto a condição inicial concreta para fixar a constante de integração. Sem a condição inicial não se pode fornecer a única solução que satisfaça esse dado.
- Portanto, com os dados que chegaram é impossível calcular as soluções pedidas de forma específica.
Ainda assim, para te ajudar de verdade na prova, vou explicar passo a passo o método correto que se usa quando a equação fornecida é do tipo separável (que é o que o enunciado pede em (b)). Vou também mostrar exemplos totalmente resolvidos para que você consiga aplicar o procedimento rapidamente se receber a equação exata na prova.
Passo 3
O que são “soluções constantes” e como encontrá-las (método geral)
- Se a equação diferencial for do tipo
(dependência somente de ), uma solução constante é uma função que não varia com . Isso significa para toda . - Para achar todas as soluções constantes basta resolver
As raízes dessa equação são os valores constantes
que satisfazem a EDO.
- Exemplo conceitual: se
então e as soluções constantes satisfazem . Se então as soluções constantes são e .
Passo 4
Separação de variáveis: explicação didática e fórmula geral
- Suponha que a EDO seja realmente separável, isto é, que possa ser escrita na forma
onde
depende somente de
. (Muitos modelos simples de perfil de onda ou evolução espacial podem ser deste tipo.)
- Passo a passo para separar e integrar:
- Colocar os termos com
do lado esquerdo e do lado direito:
- Integrar ambos os lados:
onde é constante de integração.
3. Resolver a integral à esquerda. O resultado pode ser uma expressão explícita(solução implícita) e, quando possível, isolar para obter explicitamente. - Colocar os termos com
- Para aplicar uma condição inicial do tipo
, substitui-se e em para determinar . Em seguida obtém-se a solução única que satisfaz essa condição (se as hipóteses de existência/uniqueness forem atendidas).
Passo 5
Dicas práticas para calcular as integrais sem calculadora na prova
- Identifique fatores que permitam decomposição em frações parciais (caso
seja polinomial). Ex.: se , então
e faz-se frações parciais para integrar.
- Se
for proporcional a ( ), a integral é . - Se
for proporcional a ( ), a integral é . - Sempre escreva cada passo (separação, integral, constante) — isso conta muito na correção e ajuda a evitar erros.
Passo 6
Exemplo 1 (caso linear): resolução completa de
(com
constante)
- Soluções constantes: resolver
. Logo a única solução constante é . - Separação de variáveis:
- Integrando:
- Isolando
:
- Aplicando condição inicial do tipo
:
Interpretação: crescimento/exponencial ou decaimento exponencial dependendo do sinal de
.
Passo 7
Exemplo 2 (caso quadrático): resolução completa de
(com
constante)
- Soluções constantes: resolver
. Então é a única constante. - Separação:
- Integrando:
- Isolando
:
- Aplicando condição inicial
:
Então
(Observação: aqui usei manipulação algébrica para obter uma forma mais limpa; preste atenção ao sinal de
.)
Passo 8
Exemplo 3 (logístico): resolução de
- Soluções constantes: resolver
ou . - Separação e frações parciais:
Escreve-se
(Procede-se com frações parciais padrão.)
- Integral leva à solução logística conhecida:
onde
é constante determinada por
:
Este modelo dá uma onda (ou perfil) que se aproxima de
e tem crescimento limitado — às vezes útil para modelos com saturação.
Passo 9
Resumo do procedimento que tens de aplicar na prova (passo a passo rápido)
- Identifica a forma da EDO. Se for
, é separável. - Ache soluções constantes resolvendo
. - Separe variáveis:
. - Integre ambos os lados, obtenha
. - Isole
(se possível) para escrever . - Use a condição inicial para encontrar
e obter a solução particular. - Verifique domínio (por exemplo, evitar divisão por zero) e interprete fisicamente.
Resposta
Não é possível determinar as soluções pedidas porque a equação diferencial e a condição inicial não foram fornecidas no enunciado.