Modele matematicamente as situações abaixo através de EDOs e resolva-as:
(A Catenária - Redução de Ordem na Geometria) A equação diferencial que descreve o formato de um cabo flexível e inextensível suspenso sob o próprio peso é , onde é constante. Fazendo a substituição , reduza a equação para ordem, resolva para e integre para encontrar a equação geral da curva .
(A Catenária - Redução de Ordem na Geometria) A equação diferencial que descreve o formato de um cabo flexível e inextensível suspenso sob o próprio peso é , onde é constante. Fazendo a substituição , reduza a equação para ordem, resolva para e integre para encontrar a equação geral da curva .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial que descreve a catenária (formato de um cabo flexível e inextensível suspenso sob o próprio peso). A equação é
onde
é uma constante positiva. O que nos pedem:
- Fazer a substituição
(ou seja, é a derivada de em relação a ); - Reduzir a equação de ordem usando essa substituição;
- Resolver para
e, em seguida, integrar para encontrar a equação geral da curva .
Nada mais foi fornecido; vamos proceder com essa ODE de segunda ordem.
Passo 2
Explicando a substituição e a consequência imediata: definimos
Então a derivada segunda de
é a derivada de
em relação a
, isto é
Substituindo na ODE original obtemos uma equação de primeira ordem em
:
Isto já é uma redução de ordem: a equação foi transformada de uma ODE de segunda ordem para uma de primeira ordem para
.
Passo 3
Agora vamos resolver a equação de primeira ordem para
. A equação é separável: podemos escrever
Separar significa isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro, o que nos permite integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é simples:
onde
é constante de integração. Precisamos agora avaliar a integral do lado esquerdo.
Passo 5
A integral
é uma primitiva conhecida: é a função arco-hiperbólica seno (ou seja,
) ou, equivalentemente, o logaritmo
Portanto, após integrar ambos os lados obtemos
Passo 6
Agora isolamos
. Aplicando a função hiperbólica seno à igualdade (ou usando a definição inversa de
), obtemos
Lembre-se:
. Então temos uma expressão explícita para a derivada
.
Passo 7
Integramos
para recuperar
. Assim,
Integramos em
:
Fazendo a substituição
(logo
, isto é,
), a integral fica
onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Voltando à variável
(substituindo
) obtemos a solução geral
com
constantes arbitrárias (duas constantes, como esperado para uma ODE de segunda ordem). É comum reescrever as constantes combinando o deslocamento horizontal: se definirmos
obtemos a forma
que mostra de forma clara a translação horizontal
e o deslocamento vertical
.
Passo 9
Breve verificação (útil na prova): diferenciando a solução
temos
Como
tem
, substituindo na ODE original recuperamos
confirmando que a solução encontrada é correta.