Modele matematicamente as situações abaixo através de EDOs e resolva-as:
(A Catenária - Redução de Ordem na Geometria) A equação diferencial que descreve o formato de um cabo flexível e inextensível suspenso sob o próprio peso é , onde é constante. Fazendo a substituição , reduza a equação para ordem, resolva para e integre para encontrar a equação geral da curva .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial que descreve a catenária (formato de um cabo flexível e inextensível suspenso sob o próprio peso). A equação é
y''=\frac{1}{a}\sqrt{1+(y')^2},
onde a é uma constante positiva. O que nos pedem:
  • Fazer a substituição y'=p (ou seja, p é a derivada de y em relação a x);
  • Reduzir a equação de ordem usando essa substituição;
  • Resolver para p e, em seguida, integrar para encontrar a equação geral da curva y(x).
    Nada mais foi fornecido; vamos proceder com essa ODE de segunda ordem.

Passo 2

Explicando a substituição e a consequência imediata: definimos
p(x):=y'(x).
Então a derivada segunda de y é a derivada de p em relação a x, isto é
y''=\frac{dp}{dx}.
Substituindo na ODE original obtemos uma equação de primeira ordem em p:
\frac{dp}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{1+p^2}.
Isto já é uma redução de ordem: a equação foi transformada de uma ODE de segunda ordem para uma de primeira ordem para p(x).

Passo 3

Agora vamos resolver a equação de primeira ordem para p(x). A equação é separável: podemos escrever
\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{dx}{a}.
Separar significa isolar os termos com p de um lado e os termos com x do outro, o que nos permite integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int \frac{dx}{a}.
A integral do lado direito é simples:
\int \frac{dx}{a}=\frac{x}{a}+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Precisamos agora avaliar a integral do lado esquerdo.

Passo 5

A integral
\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}
é uma primitiva conhecida: é a função arco-hiperbólica seno (ou seja, \operatorname{arsinh}) ou, equivalentemente, o logaritmo
\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\operatorname{arsinh}(p)=\ln\!\big(p+\sqrt{1+p^2}\big).
Portanto, após integrar ambos os lados obtemos
\operatorname{arsinh}(p)=\frac{x}{a}+C_1.

Passo 6

Agora isolamos p. Aplicando a função hiperbólica seno à igualdade (ou usando a definição inversa de \operatorname{arsinh}), obtemos
p=\operatorname{sinh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big).
Lembre-se: p=y'=\dfrac{dy}{dx}. Então temos uma expressão explícita para a derivada y'(x).

Passo 7

Integramos p para recuperar y. Assim,
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sinh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big).
Integramos em x:
y(x)=\int \operatorname{sinh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big)\,dx.
Fazendo a substituição u=\dfrac{x}{a}+C_1 (logo du=\dfrac{dx}{a}, isto é, dx=a\,du), a integral fica
y(x)=\int \operatorname{sinh}(u)\,a\,du = a\operatorname{cosh}(u)+C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável x (substituindo u=\dfrac{x}{a}+C_1) obtemos a solução geral
y(x)=a\operatorname{cosh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big)+C_2,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias (duas constantes, como esperado para uma ODE de segunda ordem). É comum reescrever as constantes combinando o deslocamento horizontal: se definirmos x_0=-aC_1 obtemos a forma
y(x)=a\operatorname{cosh}\!\Big(\frac{x-x_0}{a}\Big)+C_2,
que mostra de forma clara a translação horizontal x_0 e o deslocamento vertical C_2.

Passo 9

Breve verificação (útil na prova): diferenciando a solução y(x)=a\operatorname{cosh}\!\big(\frac{x}{a}+C_1\big)+C_2 temos
y'(x)=\operatorname{sinh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big), \qquad y''(x)=\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big).
Como \operatorname{cosh}^2-\operatorname{sinh}^2=1 tem \operatorname{cosh}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2}, substituindo na ODE original recuperamos
y''=\frac{1}{a}\sqrt{1+(y')^2},
confirmando que a solução encontrada é correta.

Resposta

y(x)=a\operatorname{cosh}\!\Big(\frac{x}{a}+C_1\Big)+C_2
\text{(equivalentemente) }\; y(x)=a\operatorname{cosh}\!\Big(\frac{x-x_0}{a}\Big)+C_2

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