No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron gira em torno do próton numa órbita circular de raio r. A aceleração centrípeta do elétron no átomo de hidrogênio vale aproximadamente 9,0 \times 10^{22} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Estime o valor de r, sabendo que o período vale 1,5 \times 10^{-16} \mathrm{~s}.
Resposta: r=5,28 \times 10^{-11} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado diz que, no modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron descreve uma órbita circular de raio r. Estamos dadas a aceleração centrípeta
a_c = 9,0 \times 10^{22}\,\mathrm{m/s^2}
e o período de revolução
T = 1,5 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}.
O conteúdo é cinemática do movimento circular: usaremos a relação entre aceleração centrípeta, velocidade e período para encontrar r.

Passo 2

A velocidade linear v do elétron na órbita está relacionada com o raio e o período por
v = \frac{2\pi r}{T}\,.

Passo 3

A aceleração centrípeta em movimento circular é
a_c = \frac{v^2}{r}\,.
Substituindo v de \displaystyle v = \frac{2\pi r}{T} na expressão de a_c, obtemos
a_c = \frac{\bigl(2\pi r/T\bigr)^2}{r} = \frac{4\pi^2\,r^2}{T^2\,r} = \frac{4\pi^2\,r}{T^2}\,.

Passo 4

Isolando r em
a_c = \frac{4\pi^2\,r}{T^2}
temos
r = \frac{a_c\,T^2}{4\pi^2}\,.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
T^2 = \bigl(1,5\times10^{-16}\bigr)^2 = 2,25\times10^{-32}\,\mathrm{s^2},
a_c\,T^2 = 9,0\times10^{22}\times2,25\times10^{-32} = 2,025\times10^{-9}\,\mathrm{m},
r = \frac{2,025\times10^{-9}}{4\,\pi^2} \approx \frac{2,025\times10^{-9}}{39,48} \approx 5,28\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

Resposta

r = 5,28 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}

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