Uma partícula está em repouso no topo de um cilindro de raio R. Determine o menor valor da velocidade horizontal da partícula para que ela abandone o cilindro sem deslizar sobre o mesmo.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma partícula confinada inicialmente no ponto mais alto de um cilindro fixo de raio R. Ela recebe uma velocidade horizontal inicial v_0 e, a partir daí, passa a deslizar sobre a superfície até, eventualmente, “abandonar” o cilindro (isto é, perder contato). Queremos o menor valor de v_0 para que a partícula se desprenda imediatamente, sem deslizar ao longo da curva.
Conteúdo:
– Conservação de energia mecânica.
– Equilíbrio de forças radiais (equação de movimento na direção do raio).
– Condição de partida sem deslizamento sobre a superfície (ou seja, abandono no instante inicial, \theta=0).

Passo 2

Aplicamos conservação de energia entre o topo \theta=0 e um ponto genérico que faz ângulo \theta contado a partir do vértice superior. Na posição inicial a energia cinética é \tfrac12m v_0^2 e a potencial gravitacional podemos tomar zero. Ao atingir ângulo \theta, a partícula desceu uma altura
\Delta h = R\bigl(1-\cos\theta\bigr),
logo sua velocidade v(\theta) satisfaz
\tfrac12m\,v(\theta)^2 \;=\;\tfrac12m\,v_0^2 \;+\; mg\,R\bigl(1-\cos\theta\bigr).

Passo 3

Na direção radial (casco do cilindro) aplicamos a segunda lei de Newton. Chamando de N a reação normal, a soma das forças centrípetas é
m\,\frac{v(\theta)^2}{R} \;=\; mg\cos\theta \;-\; N.
A partícula abandona a superfície quando N=0, ou seja
\frac{v(\theta)^2}{R} \;=\; g\cos\theta.

Passo 4

Para que ela “saia” sem deslizar, isto é, imediatamente no topo \theta=0, colocamos \theta=0 na condição acima e ainda usamos v(0)=v_0. Assim
\frac{v_0^2}{R} \;=\; g\cos0 \quad\Longrightarrow\quad v_0^2 = gR \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{gR}.

Resposta

v_0 = \sqrt{gR}.

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