Uma partícula está em repouso no topo de um cilindro de raio
. Determine o menor valor da velocidade horizontal da partícula para que ela abandone o cilindro sem deslizar sobre o mesmo.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma partícula confinada inicialmente no ponto mais alto de um cilindro fixo de raio
. Ela recebe uma velocidade horizontal inicial
e, a partir daí, passa a deslizar sobre a superfície até, eventualmente, “abandonar” o cilindro (isto é, perder contato). Queremos o menor valor de
para que a partícula se desprenda imediatamente, sem deslizar ao longo da curva.
Conteúdo:
– Conservação de energia mecânica.
– Equilíbrio de forças radiais (equação de movimento na direção do raio).
– Condição de partida sem deslizamento sobre a superfície (ou seja, abandono no instante inicial, ).
– Conservação de energia mecânica.
– Equilíbrio de forças radiais (equação de movimento na direção do raio).
– Condição de partida sem deslizamento sobre a superfície (ou seja, abandono no instante inicial,
Passo 2
Aplicamos conservação de energia entre o topo
e um ponto genérico que faz ângulo
contado a partir do vértice superior. Na posição inicial a energia cinética é
e a potencial gravitacional podemos tomar zero. Ao atingir ângulo
, a partícula desceu uma altura
logo sua velocidade
satisfaz
Passo 3
Na direção radial (casco do cilindro) aplicamos a segunda lei de Newton. Chamando de
a reação normal, a soma das forças centrípetas é
A partícula abandona a superfície quando
, ou seja
Passo 4
Para que ela “saia” sem deslizar, isto é, imediatamente no topo
, colocamos
na condição acima e ainda usamos
. Assim