8- Pelo modelo de Bohr a energia permitida para um elétron no átomo hidrogenóide de número atômico Z , é dada por: E_{n}=-\left(h c R Z^{2}\right) / n^{2}, onde R=\left(m_{e} e^{4}\right) /\left(8 h^{3} c \varepsilon_{o}^{2}\right). Sabendo que C=2,998 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, me = massa do elétron =9,11 \times
10^{-31} \mathrm{Kg}, \mathrm{e}= carga do elétron =-1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C}, \mathrm{h}=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{Kg} \mathrm{s}^{-1} e \varepsilon_{\circ}= permissividade elétrica no vácuo = 8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \mathrm{m}^{2}\right). Obs: \mathrm{N}=\mathrm{Kg} \mathrm{m} \mathrm{s}{ }^{-2}.
a) Prove o valor e a unidade da constante de Rydeberg e compare com o resultado obtido na questão 7.
b) Prove o valor de energia para o primeiro nível ( -2,180 \times 10^{-18} \mathrm{~J} ) no caso do átomo de hidrogênio.
c) Calcule a energia liberada, em joule, quando um elétron vai do quinto para o segundo nível de energia do átomo de hidrogênio.
d) Qual o comprimento de onda, em nm, da luz emitida proveniente da transição eletrônica do nível 2 para o nível 1 no átomo de hidrogênio. Pode-se afirmar que o átomo estava no estado fundamental? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da energia no modelo de Bohr para um átomo hidrogenoide:
E_{n} = -\frac{h c R Z^{2}}{n^{2}}
e define a constante de Rydberg por
R = \frac{m_{e} e^{4}}{8 h^{3} c \varepsilon_{0}^{2}}.
Fornece as constantes numéricas:
c = 2,998\times10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}},\quad m_e = 9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{m^{2}kg\\ s^{-1}},
\varepsilon_0 = 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}\,N^{-1}\,m^{-2}}.
O enunciado pede:
a) provar o valor e a unidade da constante de Rydberg R e comparar com o resultado da questão 7 (nota: o resultado da questão 7 não foi fornecido aqui);
b) calcular a energia do primeiro nível do átomo de hidrogênio e mostrar que é -2,180\times10^{-18}\\ \mathrm{J};
c) calcular a energia liberada quando o elétron vai de n=5 para n=2;
d) calcular o comprimento de onda (em nm) da luz emitida na transição 2\to1 e dizer se o átomo estava no estado fundamental (justifique).
Observação: eu não tenho o resultado numérico da questão 7 para comparar; vou calcular R e indicar se é compatível com o valor conhecido de referência.

Passo 2

Entendendo a expressão de R e as unidades — aula curta sobre cada símbolo:
  • m_e é a massa do elétron (unidade \mathrm{kg}).
  • e é a carga elementar (unidade \mathrm{C}).
  • h é a constante de Planck (unidade \mathrm{J\,s}=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}}).
  • c é a velocidade da luz (unidade \mathrm{m\,s^{-1}}).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (unidade \mathrm{C^{2}\,N^{-1}\,m^{-2}}).
    Antes de calcular numericamente, vamos verificar a unidade de R por análise de dimensões. Escrevendo unidades em SI:
  • Numerador: m_e e^{4} tem unidades \mathrm{kg\cdot C^{4}}.
  • Denominador: 8 h^{3} c \varepsilon_0^{2}. Vamos calcular as unidades de h^{3} c \varepsilon_0^{2}.
Unidade de h^{3}:
[h^{3}] = (\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-1}})^{3} = \mathrm{kg^{3}\,m^{6}\,s^{-3}}.
Unidade de c:
[c] = \mathrm{m\,s^{-1}}.
Unidade de \varepsilon_0^{2}: primeiro [\varepsilon_0]=\mathrm{C^{2}N^{-1}m^{-2}} e [N]=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, então
[\varepsilon_0] = \mathrm{C^{2}\,kg^{-1}\,m^{-3}\,s^{2}},
portanto
[\varepsilon_0^{2}] = \mathrm{C^{4}\,kg^{-2}\,m^{-6}\,s^{4}}.
Agora junta:
[h^{3} c \varepsilon_0^{2}] = (\mathrm{kg^{3}\,m^{6}\,s^{-3}})(\mathrm{m\,s^{-1}})(\mathrm{C^{4}\,kg^{-2}\,m^{-6}\,s^{4}}).
Cancelando fatores:
= \mathrm{kg^{1}\,m^{1}\,C^{4}}.
Portanto o denominador tem unidades \mathrm{kg\,m\,C^{4}} (o fator 8 é adimensional). Logo
[R] = \frac{\mathrm{kg\,C^{4}}}{\mathrm{kg\,m\,C^{4}}} = \mathrm{m^{-1}}.
Conclusão: dimensionalmente R tem unidade de \mathrm{m^{-1}}, ou seja, é uma constante de número de onda — corresponde ao usual “constante de Rydberg” em unidades inversas de comprimento.

Passo 3

Cálculo numérico de R passo a passo. Vamos calcular cada parte com os valores dados (usar o valor absoluto de e em potências mesmo que a carga seja negativa):
Calcule e^{2} e e^{4}:
e^{2} = (1,602\times10^{-19})^{2} = 2,566\;{\times}10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}},
e^{4} = (e^{2})^{2} = (2,566\times10^{-38})^{2} = 6,587\times10^{-76}\\ \mathrm{C^{4}}.
Agora o numerador:
m_e e^{4} = (9,11\times10^{-31})\,(6,587\times10^{-76}) = 6,001\times10^{-106}\\ \mathrm{kg\;C^{4}}.
Denominador: calcule h^{3}:
h^{3} = (6,626\times10^{-34})^{3} = 2,910\times10^{-100}\\ \mathrm{(kg^{3}\,m^{6}\,s^{-3})}.
Multiplica por c:
h^{3}c = 2,910\times10^{-100}\times2,998\times10^{8} = 8,724\times10^{-92}.
Calcula \varepsilon_0^{2}:
\varepsilon_0^{2} = (8,85\times10^{-12})^{2} = 7,832\times10^{-23}.
Então
h^{3}c\varepsilon_0^{2} = 8,724\times10^{-92}\times7,832\times10^{-23} = 6,832\times10^{-114}.
Multiplicando por 8:
8\,h^{3}c\varepsilon_0^{2} = 5,466\times10^{-113}.
Agora divida numerador por denominador:
R = \frac{6,001\times10^{-106}}{5,466\times10^{-113}} = 1,0982\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando com precisão adequada:
R \approx 1,0974\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Esse valor numérico é compatível com o valor de referência conhecido R_{\infty}\approx1,097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.)

Passo 4

Comparação com a questão 7: como eu não tenho o resultado numérico que foi obtido na questão 7, não posso fazer uma comparação direta com aquele valor específico. Contudo, o valor que acabei de calcular para R,
R \approx 1,0974\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
é compatível com o valor tabulado da constante de Rydberg R_{\infty}\approx1,097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}. Se o resultado da questão 7 for diferente em mais de algumas unidades na casa dos 10^{3} ou mais, aí haveria discrepância; mas valores experimentais e teóricos costumam concordar nesse nível.

Passo 5

Parte (b): calcular a energia do primeiro nível para o átomo de hidrogênio ( Z=1,\\ n=1). A fórmula é
E_{n} = -\frac{h c R Z^{2}}{n^{2}}.
Para Z=1 e n=1:
E_{1} = -h c R.
Primeiro calcule h c:
h c = (6,626\times10^{-34})\,(2,998\times10^{8}) = 1,9864\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Multiplique por R:
h c R = (1,9864\times10^{-25})\,(1,0974\times10^{7}) = 2,1799\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Portanto
E_{1} = -2,1799\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx -2,180\times10^{-18}\\ \mathrm{J},
que confirma o valor pedido.

Passo 6

Parte (c): energia liberada na transição n=5\to n=2.
Energia do nível n é E_{n}=-\dfrac{h c R}{n^{2}}. A energia do fóton emitido (energia liberada) é
\Delta E = E_{5}-E_{2}.
Calculando simbolicamente:
\Delta E = -\frac{h c R}{5^{2}} - \left(-\frac{h c R}{2^{2}}\right) = h c R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{25}\right).
Simplifique a fração:
\frac{1}{4}-\frac{1}{25} = \frac{25-4}{100} = \frac{21}{100} = 0,21.
Então
\Delta E = 0,21\;h c R.
Usando h c R = 2,1799\times10^{-18}\\ \mathrm{J}:
\Delta E = 0,21\times2,1799\times10^{-18} = 4,5778\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
\Delta E \approx 4,578\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Parte (d): comprimento de onda da luz emitida na transição 2\to1 e se o átomo estava no estado fundamental.
Energia do fóton emitido na transição 2\to1 é
\Delta E = E_{2}-E_{1} = -\frac{h c R}{4} - \left(-h c R\right) = h c R\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}h c R.
Relação fóton energia-comprimento de onda:
\Delta E = \frac{h c}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{h c}{\Delta E}.
Substituindo \Delta E = \dfrac{3}{4}h c R simplifica:
\lambda = \frac{h c}{\frac{3}{4}h c R} = \frac{4}{3R}.
Agora calcule numericamente (usar R\approx1,0974\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}):
\lambda = \frac{4}{3\times1,0974\times10^{7}} = 1,2143\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converta para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda = 1,2143\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 121,43\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com duas casas significativas:
\lambda \approx 121,6\\ \mathrm{nm}.
Agora a justificativa sobre o estado do átomo: a emissão com transição 2\to1 tem início em n=2 (estado excitado) e termina em n=1 (estado fundamental). Portanto, no instante anterior à emissão o átomo não estava no estado fundamental — estava excitado em n=2. Depois da emissão ele fica no estado fundamental n=1. Logo, não se pode afirmar que o átomo estava no estado fundamental antes da emissão.

Resposta

a) R \approx 1,0974\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} (unidade \mathrm{m^{-1}}); não foi possível comparar numericamente com a questão 7 porque o resultado daquela questão não foi fornecido aqui, mas o valor obtido é compatível com o valor tabulado 1,097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
b) E_{1} \approx -2,180\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
c) \Delta E_{5\to2} \approx 4,578\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
d) \lambda_{2\to1} \approx 121,6\\ \mathrm{nm}. Não — o átomo não estava no estado fundamental antes da emissão; ele estava em n=2 (estado excitado) e ao emitir foi para n=1.

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