8- Pelo modelo de Bohr a energia permitida para um elétron no átomo hidrogenóide de número atômico Z , é dada por:
, onde
. Sabendo que
, me
massa do elétron
carga do elétron
e
permissividade elétrica no vácuo
. Obs:
.
a) Prove o valor e a unidade da constante de Rydeberg e compare com o resultado obtido na questão 7.
b) Prove o valor de energia para o primeiro nível (
) no caso do átomo de hidrogênio.
c) Calcule a energia liberada, em joule, quando um elétron vai do quinto para o segundo nível de energia do átomo de hidrogênio.
d) Qual o comprimento de onda, em nm, da luz emitida proveniente da transição eletrônica do nível 2 para o nível 1 no átomo de hidrogênio. Pode-se afirmar que o átomo estava no estado fundamental? Justifique.
a) Prove o valor e a unidade da constante de Rydeberg e compare com o resultado obtido na questão 7.
b) Prove o valor de energia para o primeiro nível (
c) Calcule a energia liberada, em joule, quando um elétron vai do quinto para o segundo nível de energia do átomo de hidrogênio.
d) Qual o comprimento de onda, em nm, da luz emitida proveniente da transição eletrônica do nível 2 para o nível 1 no átomo de hidrogênio. Pode-se afirmar que o átomo estava no estado fundamental? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula da energia no modelo de Bohr para um átomo hidrogenoide:
e define a constante de Rydberg por
Fornece as constantes numéricas:
O enunciado pede:
a) provar o valor e a unidade da constante de Rydberg e comparar com o resultado da questão 7 (nota: o resultado da questão 7 não foi fornecido aqui);
b) calcular a energia do primeiro nível do átomo de hidrogênio e mostrar que é ;
c) calcular a energia liberada quando o elétron vai de para
;
d) calcular o comprimento de onda (em nm) da luz emitida na transição e dizer se o átomo estava no estado fundamental (justifique).
a) provar o valor e a unidade da constante de Rydberg
b) calcular a energia do primeiro nível do átomo de hidrogênio e mostrar que é
c) calcular a energia liberada quando o elétron vai de
d) calcular o comprimento de onda (em nm) da luz emitida na transição
Observação: eu não tenho o resultado numérico da questão 7 para comparar; vou calcular
e indicar se é compatível com o valor conhecido de referência.
Passo 2
Entendendo a expressão de
e as unidades — aula curta sobre cada símbolo:
-
é a massa do elétron (unidade ). -
é a carga elementar (unidade ). -
é a constante de Planck (unidade ). -
é a velocidade da luz (unidade ). -
é a permissividade do vácuo (unidade ).
Antes de calcular numericamente, vamos verificar a unidade depor análise de dimensões. Escrevendo unidades em SI: - Numerador:
tem unidades . - Denominador:
. Vamos calcular as unidades de .
Unidade de
:
Unidade de
:
Unidade de
: primeiro
e
, então
portanto
Agora junta:
Cancelando fatores:
Portanto o denominador tem unidades
(o fator 8 é adimensional). Logo
Conclusão: dimensionalmente
tem unidade de
, ou seja, é uma constante de número de onda — corresponde ao usual “constante de Rydberg” em unidades inversas de comprimento.
Passo 3
Cálculo numérico de
passo a passo. Vamos calcular cada parte com os valores dados (usar o valor absoluto de
em potências mesmo que a carga seja negativa):
Calcule e
:
Calcule
Agora o numerador:
Denominador: calcule
:
Multiplica por
:
Calcula
:
Então
Multiplicando por 8:
Agora divida numerador por denominador:
Arredondando com precisão adequada:
(Esse valor numérico é compatível com o valor de referência conhecido
.)
Passo 4
Comparação com a questão 7: como eu não tenho o resultado numérico que foi obtido na questão 7, não posso fazer uma comparação direta com aquele valor específico. Contudo, o valor que acabei de calcular para
,
é compatível com o valor tabulado da constante de Rydberg
. Se o resultado da questão 7 for diferente em mais de algumas unidades na casa dos
ou mais, aí haveria discrepância; mas valores experimentais e teóricos costumam concordar nesse nível.
Passo 5
Parte (b): calcular a energia do primeiro nível para o átomo de hidrogênio (
). A fórmula é
Para
e
:
Primeiro calcule
:
Multiplique por
:
Portanto
que confirma o valor pedido.
Passo 6
Parte (c): energia liberada na transição
.
Energia do nível
é
. A energia do fóton emitido (energia liberada) é
Calculando simbolicamente:
Simplifique a fração:
Então
Usando
:
Arredondando:
Passo 7
Parte (d): comprimento de onda da luz emitida na transição
e se o átomo estava no estado fundamental.
Energia do fóton emitido na transição
é
Relação fóton energia-comprimento de onda:
Substituindo
simplifica:
Agora calcule numericamente (usar
):
Converta para nanômetros (
):
Arredondando com duas casas significativas:
Agora a justificativa sobre o estado do átomo: a emissão com transição
tem início em
(estado excitado) e termina em
(estado fundamental). Portanto, no instante anterior à emissão o átomo não estava no estado fundamental — estava excitado em
. Depois da emissão ele fica no estado fundamental
. Logo, não se pode afirmar que o átomo estava no estado fundamental antes da emissão.
Resposta
a)
(unidade
); não foi possível comparar numericamente com a questão 7 porque o resultado daquela questão não foi fornecido aqui, mas o valor obtido é compatível com o valor tabulado
.
b) .
c) .
d) . Não — o átomo não estava no estado fundamental antes da emissão; ele estava em
(estado excitado) e ao emitir foi para
.
b)
c)
d)