Um modelo de bomba, que utiliza água ( v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) como líquido de teste, simula um protótipo que deve bombear óleo de densidade relativa 0,9 e viscosidade cinemática 4,157 \cdot 10^{-5} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}. A potência da bomba no modelo é de 0,522 \mathrm{~kW}. Havendo semelhança dinâmica de forças gravitacionais e viscosas entre modelo e o protótipo, determinar:
(a) A escala geométrica do modelo;
(b) A potência da bomba no protótipo.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo hidráulico que usa água (viscosidade cinemática \nu_m = 10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}, densidade \rho_m=1000\,\mathrm{kg/m^3}) e um protótipo que deve bombear óleo (viscosidade cinemática \nu_p = 4{,}157\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}, densidade \rho_p=0{,}9\times1000=900\,\mathrm{kg/m^3}). No modelo a potência é P_m=0{,}522\,\mathrm{kW}. Como queremos semelhança dinâmica de forças gravitacionais e viscosas, igualamos os números de Froude e de Reynolds entre modelo e protótipo. A tarefa é:
a) determinar a escala geométrica \lambda = L_m/L_p, e
b) encontrar a potência P_p no protótipo.

Passo 2

Para semelhança de Reynolds e de Froude devemos ter
\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p \quad\text{e}\quad \mathrm{Fr}_m = \mathrm{Fr}_p.
Como \mathrm{Re} = \dfrac{V\,L}{\nu} e \mathrm{Fr} = \dfrac{V}{\sqrt{g\,L}}, seja L_m = \lambda\,L_p.
  1. Igualando Froude:
\frac{V_m}{\sqrt{g\,L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g\,L_p}} \quad\Longrightarrow\quad V_p = V_m\,\sqrt{\frac{L_p}{L_m}} = \frac{V_m}{\sqrt{\lambda}}.
  1. Igualando Reynolds:
\frac{V_m\,L_m}{\nu_m} = \frac{V_p\,L_p}{\nu_p} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_m\,(\lambda L_p)}{\nu_m} = \frac{\bigl(V_m/\sqrt{\lambda}\bigr)\,L_p}{\nu_p}.
Cancelando V_m e L_p e rearranjando:
\lambda^{3/2} = \frac{\nu_m}{\nu_p} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \Bigl(\frac{\nu_m}{\nu_p}\Bigr)^{2/3}.

Passo 3

Substituindo \nu_m=10^{-6}\,\mathrm{m^2/s} e \nu_p=4{,}157\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}:
\lambda = \Bigl(\frac{10^{-6}}{4{,}157\times10^{-5}}\Bigr)^{2/3} \approx (0{,}024056)^{2/3} \approx 0{,}0832.
Logo a escala geométrica do modelo é
\boxed{\lambda = \frac{L_m}{L_p} \approx 0{,}0832.}

Passo 4

Agora queremos a potência P_p. Em bombas, a potência hidráulica escala como
P \sim \rho\,g\,Q\,H,
onde Q (vazão) e H (altura manométrica) escalam com \lambda e g assim:
V \propto \sqrt{g\,L},\quad Q\sim V\,L^2,\quad H\sim \frac{V^2}{g}\sim L.
Logo
\frac{Q_p}{Q_m} = \frac{V_p}{V_m}\,\frac{L_p^2}{L_m^2} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\,\frac{1}{\lambda^2} = \lambda^{-5/2},
\frac{H_p}{H_m} = \frac{L_p}{L_m} = \lambda^{-1}.
Assim
\frac{P_p}{P_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\, \frac{Q_p}{Q_m}\, \frac{H_p}{H_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\,\lambda^{-5/2}\,\lambda^{-1} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\,\lambda^{-7/2}.

Passo 5

Substituindo \rho_p/\rho_m=0{,}9, \lambda=0{,}0832 e P_m=0{,}522\,\mathrm{kW}:
\lambda^{-7/2} = (0{,}0832)^{-3{,}5}\approx 6026,
P_p = 0{,}522\;\mathrm{kW}\times 0{,}9\times6026 \approx 0{,}522\times5423{,}4\;\mathrm{kW} \approx 2831\;\mathrm{kW}.

Resposta

a) \lambda = L_m/L_p \approx 0{,}0832.
b) P_p \approx 2{,}83\times10^3\;\mathrm{kW} \approx 2{,}83\;\mathrm{MW}.

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