Determinar a relação entre tempos e velocidades em dois escoamentos dinamicamente semelhantes quando em ambos o fluido é o mesmo e a força dominante do fenômeno é:
A força de tensão superficial.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre os tempos característicos e as velocidades características de dois escoamentos dinamicamente semelhantes, com mesmo fluido e com a força de tensão superficial dominante. Nesse caso, o número adimensional relevante é o número de Weber
\mathrm{We}=\frac{\rho\,U^{2}\,L}{\sigma},
onde \rho é a densidade, U a velocidade característica, L o comprimento característico e \sigma a tensão superficial. Para que os dois escoamentos sejam semelhantes, devemos ter igualdade dos números de Weber.

Passo 2

Sejam as duas situações indicadas pelos índices 1 e 2. Igualando seus números de Weber, com \rho e \sigma iguais em ambas, temos
\frac{\rho\,U_{1}^{2}\,L_{1}}{\sigma} = \frac{\rho\,U_{2}^{2}\,L_{2}}{\sigma} \quad\Longrightarrow\quad U_{1}^{2}\,L_{1}=U_{2}^{2}\,L_{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{U_{1}}{U_{2}} =\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\,.

Passo 3

O tempo característico escala como t\sim L/U. Portanto, a razão entre os tempos é
\frac{t_{1}}{t_{2}} =\frac{L_{1}/U_{1}}{L_{2}/U_{2}} =\frac{L_{1}}{L_{2}}\;\frac{U_{2}}{U_{1}} =\frac{L_{1}}{L_{2}}\;\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}} =\Bigl(\frac{L_{1}}{L_{2}}\Bigr)^{3/2}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{U_{1}}{U_{2}}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}} \quad\text{e}\quad \frac{t_{1}}{t_{2}}=\Bigl(\frac{L_{1}}{L_{2}}\Bigr)^{3/2}.

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