- O modelo cinético clássico de Drude modela a nuvem eletrônica como um gás de portadores colidindo contra uma rede cristalina. Baseado nas Leis de Newton, obtenha a equação da condutividade do material
. Argumente por que, à luz deste modelo, a resistividade elétrica dos metais é diretamente proporcional ao aumento da temperatura.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Derivar, a partir das Leis de Newton aplicadas ao gás de elétrons do modelo de Drude, a expressão da condutividade elétrica
- Argumentar, usando esse modelo, por que a resistividade elétrica dos metais aumenta proporcionalmente com a temperatura (ou seja, por que
no regime apropriado).
Informações relevantes fornecidas ou presumidas pelo enunciado:
- No modelo de Drude os elétrons de condução são tratados como partículas clássicas de massa
e carga que se movem sob a ação do campo elétrico e colidem com a rede cristalina. - Introduz-se um tempo de relaxação médio
: tempo médio entre colisões que randomizam a velocidade do elétron. - Queremos relacionar a velocidade média de arraste dos elétrons com o campo elétrico e daí obter a densidade de corrente e a condutividade.
Passo 2
Escrever a equação de movimento (Leis de Newton) incluindo o efeito das colisões por meio do tempo de relaxação
.
Explicação física e notação:
-
é a massa eletrônica. -
é a carga do elétron (o sinal negativo indica que a carga é negativa); aqui é o módulo da carga elementar. -
é o campo elétrico aplicado. -
é a velocidade de um elétron em função do tempo. -
é o tempo médio entre colisões; modela-se o efeito das colisões como uma força de atrito efetiva que tende a trazer a velocidade média ao zero em tempo .
No modelo de relaxação a equação de movimento média é escrita assim (força elétrica + perda média de momento devido a colisões):
Aqui o termo
é um termo dissipativo médio que representa a perda do momento média por colisões; é uma aproximação linear razoável quando descrevemos a componente média da velocidade.
Passo 3
Resolver a equação para a velocidade média em regime estacionário (estado estacionário).
Motivação: na maioria das medidas de condutividade considera-se um campo elétrico constante e espera-se um estado estacionário onde a velocidade média não varia no tempo (
) após o decaimento das transientes.
Colocando
na equação:
Isolando
:
Interpretação: a velocidade média de arraste
é proporcional ao campo
, com o fator
. O sinal negativo indica que os elétrons (carga negativa) se movem na direção oposta ao campo, como esperado.
Passo 4
Relacionar a velocidade média de arraste com a densidade de corrente e obter a condutividade.
Definição de densidade de corrente elétrica
:
- Se há
elétrons por unidade de volume, cada um com carga e velocidade média , a densidade de corrente é
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Simplificando os sinais:
Pela definição de condutividade
no relacionamento linear de Ohm em forma local
, identificamos
Isso é exatamente a expressão desejada. Aqui:
-
é a densidade de elétrons livres, -
é o módulo da carga elementar, -
é o tempo médio entre colisões, -
é a massa do elétron.
Passo 5
Interpretação física da fórmula e comentários práticos sobre sinais e magnitudes.
- A condutividade aumenta com
: mais portadores, mais corrente para o mesmo campo. - Aumenta com
: se os elétrons colidem menos (maior tempo livre médio), conseguem adquirir maior velocidade média de arraste e conduzir melhor. - Decresce com
: elétrons mais “pesados” aceleram menos sob o mesmo campo. - A fórmula foi obtida usando a aproximação clássica e o modelo de tempo de relaxação (aproximação de relaxação de momento). É simples e útil para estimativas qualitativas e muitas previsões sem detalhes quânticos.
Passo 6
Relacionar condutividade e resistividade e explicar por que, segundo Drude, a resistividade cresce com a temperatura.
Definição de resistividade
:
Agora a dependência com a temperatura:
- No intervalo de temperaturas típico dos metais (acima de uma fração da temperatura de Debye), a dispersão dominante dos elétrons é por fônons (vibrações térmicas da rede).
- À medida que a temperatura
aumenta, a amplitude das vibrações da rede e o número de fônons aumentam; isso aumenta a probabilidade de espalhamento dos elétrons pela rede. - Em termos simples e empírico-clássico, a taxa de colisões (frequência de espalhamento)
cresce com . Como , então cresce com , de modo que diminui com . - Se
e mudam pouco com , então da expressão segue que é (aproximadamente) proporcional a , logo proporcional a quando .
Resumo físico simples: aumentar
→ mais agitação térmica da rede → mais espalhamento de elétrons → menor
→ maior
. Por isso, dentro das hipóteses do modelo (domínio por espalhamento por fônons e
quase constante), observa-se empiricamente que a resistividade elétrica de muitos metais cresce aproximadamente linearmente com
.
Passo 7
Observações sobre limites e validade (importante para a prova).
- A proporcionalidade
vale principalmente na faixa onde o espalhamento por fônons domina (temperaturas moderadas a altas, acima de uma fração da temperatura de Debye). - A baixas temperaturas, espalhamento por impurezas/defeitos prevalece e aparece uma resistividade residual independente de
. - O modelo de Drude é clássico e falha em detalhes quânticos (por exemplo, predição incorreta da ordem de magnitude de algumas quantidades), mas dá uma explicação simples e correta qualitativa da dependência
e da fórmula .