1. O modelo cinético clássico de Drude modela a nuvem eletrônica como um gás de portadores colidindo contra uma rede cristalina. Baseado nas Leis de Newton, obtenha a equação da condutividade do material \sigma=\frac{n e^{2} \tau}{m_{e}}. Argumente por que, à luz deste modelo, a resistividade elétrica dos metais é diretamente proporcional ao aumento da temperatura.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Derivar, a partir das Leis de Newton aplicadas ao gás de elétrons do modelo de Drude, a expressão da condutividade elétrica
\sigma=\frac{n e^{2}\tau}{m_{e}}.
  • Argumentar, usando esse modelo, por que a resistividade elétrica dos metais aumenta proporcionalmente com a temperatura (ou seja, por que \rho\propto T no regime apropriado).
Informações relevantes fornecidas ou presumidas pelo enunciado:
  • No modelo de Drude os elétrons de condução são tratados como partículas clássicas de massa m_{e} e carga -e que se movem sob a ação do campo elétrico e colidem com a rede cristalina.
  • Introduz-se um tempo de relaxação médio \tau: tempo médio entre colisões que randomizam a velocidade do elétron.
  • Queremos relacionar a velocidade média de arraste dos elétrons com o campo elétrico e daí obter a densidade de corrente e a condutividade.

Passo 2

Escrever a equação de movimento (Leis de Newton) incluindo o efeito das colisões por meio do tempo de relaxação \tau.
Explicação física e notação:
  • m_{e} é a massa eletrônica.
  • -e é a carga do elétron (o sinal negativo indica que a carga é negativa); aqui e>0 é o módulo da carga elementar.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico aplicado.
  • \mathbf{v}(t) é a velocidade de um elétron em função do tempo.
  • \tau é o tempo médio entre colisões; modela-se o efeito das colisões como uma força de atrito efetiva que tende a trazer a velocidade média ao zero em tempo \tau.
No modelo de relaxação a equação de movimento média é escrita assim (força elétrica + perda média de momento devido a colisões):
m_{e}\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\mathbf{E} - m_{e}\frac{\mathbf{v}}{\tau}.
Aqui o termo -m_{e}\mathbf{v}/\tau é um termo dissipativo médio que representa a perda do momento média por colisões; é uma aproximação linear razoável quando descrevemos a componente média da velocidade.

Passo 3

Resolver a equação para a velocidade média em regime estacionário (estado estacionário).
Motivação: na maioria das medidas de condutividade considera-se um campo elétrico constante e espera-se um estado estacionário onde a velocidade média não varia no tempo ( d\mathbf{v}/dt=0) após o decaimento das transientes.
Colocando d\mathbf{v}/dt=0 na equação:
0 = -e\mathbf{E} - m_{e}\frac{\mathbf{v}}{\tau}.
Isolando \mathbf{v}:
m_{e}\frac{\mathbf{v}}{\tau} = -e\mathbf{E}
\mathbf{v} = -\frac{e\tau}{m_{e}}\mathbf{E}.
Interpretação: a velocidade média de arraste \mathbf{v} é proporcional ao campo \mathbf{E}, com o fator -e\tau/m_{e}. O sinal negativo indica que os elétrons (carga negativa) se movem na direção oposta ao campo, como esperado.

Passo 4

Relacionar a velocidade média de arraste com a densidade de corrente e obter a condutividade.
Definição de densidade de corrente elétrica \mathbf{j}:
  • Se há n elétrons por unidade de volume, cada um com carga -e e velocidade média \mathbf{v}, a densidade de corrente é
\mathbf{j} = n(-e)\mathbf{v}.
Substituindo a expressão de \mathbf{v} do passo anterior:
\mathbf{j} = n(-e)\left(-\frac{e\tau}{m_{e}}\mathbf{E}\right).
Simplificando os sinais:
\mathbf{j} = n\frac{e^{2}\tau}{m_{e}}\mathbf{E}.
Pela definição de condutividade \sigma no relacionamento linear de Ohm em forma local \mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}, identificamos
\sigma = \frac{n e^{2}\tau}{m_{e}}.
Isso é exatamente a expressão desejada. Aqui:
  • n é a densidade de elétrons livres,
  • e é o módulo da carga elementar,
  • \tau é o tempo médio entre colisões,
  • m_{e} é a massa do elétron.

Passo 5

Interpretação física da fórmula e comentários práticos sobre sinais e magnitudes.
  • A condutividade aumenta com n: mais portadores, mais corrente para o mesmo campo.
  • Aumenta com \tau: se os elétrons colidem menos (maior tempo livre médio), conseguem adquirir maior velocidade média de arraste e conduzir melhor.
  • Decresce com m_{e}: elétrons mais “pesados” aceleram menos sob o mesmo campo.
  • A fórmula foi obtida usando a aproximação clássica e o modelo de tempo de relaxação (aproximação de relaxação de momento). É simples e útil para estimativas qualitativas e muitas previsões sem detalhes quânticos.

Passo 6

Relacionar condutividade e resistividade e explicar por que, segundo Drude, a resistividade cresce com a temperatura.
Definição de resistividade \rho:
\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{m_{e}}{n e^{2}\tau}.
Agora a dependência com a temperatura:
  • No intervalo de temperaturas típico dos metais (acima de uma fração da temperatura de Debye), a dispersão dominante dos elétrons é por fônons (vibrações térmicas da rede).
  • À medida que a temperatura T aumenta, a amplitude das vibrações da rede e o número de fônons aumentam; isso aumenta a probabilidade de espalhamento dos elétrons pela rede.
  • Em termos simples e empírico-clássico, a taxa de colisões (frequência de espalhamento) \nu cresce com T. Como \nu=1/\tau, então 1/\tau cresce com T, de modo que \tau diminui com T.
  • Se n e m_{e} mudam pouco com T, então da expressão \rho=m_{e}/(n e^{2}\tau) segue que \rho é (aproximadamente) proporcional a 1/\tau, logo proporcional a T quando 1/\tau\propto T.
Resumo físico simples: aumentar T → mais agitação térmica da rede → mais espalhamento de elétrons → menor \tau → maior \rho. Por isso, dentro das hipóteses do modelo (domínio por espalhamento por fônons e n quase constante), observa-se empiricamente que a resistividade elétrica de muitos metais cresce aproximadamente linearmente com T.

Passo 7

Observações sobre limites e validade (importante para a prova).
  • A proporcionalidade \rho\propto T vale principalmente na faixa onde o espalhamento por fônons domina (temperaturas moderadas a altas, acima de uma fração da temperatura de Debye).
  • A baixas temperaturas, espalhamento por impurezas/defeitos prevalece e aparece uma resistividade residual independente de T.
  • O modelo de Drude é clássico e falha em detalhes quânticos (por exemplo, predição incorreta da ordem de magnitude de algumas quantidades), mas dá uma explicação simples e correta qualitativa da dependência \rho(T) e da fórmula \sigma=\dfrac{n e^{2}\tau}{m_{e}}.

Resposta

\sigma=\dfrac{n e^{2}\tau}{m_{e}}\n
\rho=\dfrac{1}{\sigma}=\dfrac{m_{e}}{n e^{2}\tau}, portanto, quando o espalhamento por fônons domina e 1/\tau\propto T, tem-se \rho\propto T.

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