1. Um fio condutor de cobre, perfeitamente cilíndrico e com 2,0 \mathrm{~mm} de diâmetro, apresenta condutividade \sigma=75,8 \times 10^{6} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e uma mobilidade de portadores \mu=0,0032 \mathrm{~m}^{2} /(\mathrm{V} \cdot \mathrm{s}). Submetido a um campo elétrico interno de 20 \mathrm{mV} / \mathrm{m}, pede-se determinar: (a) a densidade volumétrica de carga livre, (b) o módulo da densidade de corrente, e (c) a velocidade de arrastamento imposta ao fluxo eletrônico.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de cobre com as seguintes informações:
  • diâmetro d=2{,}0\\ \mathrm{mm};
  • condutividade elétrica \sigma=75{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{S/m};
  • mobilidade dos portadores \mu=0{,}0032\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)};
  • campo elétrico interno E=20\\ \mathrm{mV/m}.
O que se pede:
(a) a densidade volumétrica de carga livre (ou seja, a carga por unidade de volume, \rho, associada aos portadores livres);
(b) o módulo da densidade de corrente (ou seja, |\mathbf{J}|);
(c) a velocidade de arrastamento (velocidade de deriva) imposta ao fluxo eletrônico ( v_{\mathrm{d}}).

Passo 2

Vamos listar e explicar as fórmulas úteis e o significado das quantidades:
  • \sigma é a condutividade elétrica. Relaciona densidade de corrente e campo elétrico pela lei de Ohm local:
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},
onde \mathbf{J} é a densidade de corrente (unidade \mathrm{A/m^{2}}) e \mathbf{E} é o campo elétrico (unidade \mathrm{V/m}).
  • A mobilidade \mu é definida como a razão entre a velocidade de arrastamento média do portador e o campo elétrico:
v_{\mathrm{d}}=\mu E.
Aqui v_{\mathrm{d}} tem unidade \mathrm{m/s}.
  • Para portadores de carga de valor absoluto e (elétron: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}), a condutividade pode ser relacionada à densidade de portadores n (número de portadores por volume) e à mobilidade:
\sigma = n e \mu.
Explicação: cada portador com carga e movendo-se com velocidade média v_{\mathrm{d}} produz uma contribuição ne v_{\mathrm{d}} para a densidade de corrente; usando v_{\mathrm{d}}=\mu E obtém-se \mathbf{J}=n e \mu \mathbf{E}, logo \sigma=n e \mu.
  • A densidade volumétrica de carga associada aos portadores é
\rho = -\,n e,
no caso de elétrons (sinal negativo porque elétrons têm carga negativa). Aqui \rho tem unidade \mathrm{C/m^{3}}.
Essas fórmulas bastam para calcular (a), (b) e (c). Observação prática útil: combinando \rho=-n e e \sigma=n e \mu segue-se que
\rho = -\frac{\sigma}{\mu}.
Isso dá \rho diretamente a partir de \sigma e \mu.

Passo 3

Cálculo da densidade de portadores n (passo intermediário, ajuda a entender a ordem de grandeza):
Usar
n=\frac{\sigma}{e\mu}.
Calcule e\mu:
e\mu=(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(0{,}0032\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)})=5{,}1269652288\times10^{-22}\\ \mathrm{C\cdot m^{2}/(V\cdot s)}.
Agora
n=\frac{75{,}8\times10^{6}}{5{,}1269652288\times10^{-22}}\\ \mathrm{m^{-3}} \approx 1{,}48\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Isso significa que há cerca de 1{,}48\times10^{29} elétrons livres por metro cúbico (ordem de grandeza típica para metais).

Passo 4

Cálculo da densidade volumétrica de carga livre \rho:
Usando a relação direta
\rho=-\frac{\sigma}{\mu},
fazendo as contas (mostrando unidades para verificação):
\frac{\sigma}{\mu}=\frac{75{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}}{0{,}0032\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}}= \frac{75{,}8\times10^{6}}{3{,}2\times10^{-3}}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Calcule numericamente:
\frac{75{,}8\times10^{6}}{0{,}0032}\approx 2{,}372\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Como são elétrons (carga negativa),
\rho\approx -2{,}37\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
(Se quiser a magnitude, é 2{,}37\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.)

Passo 5

Cálculo do módulo da densidade de corrente |\mathbf{J}|:
Primeiro converter o campo E:
E=20\\ \mathrm{mV/m}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}=0{,}020\\ \mathrm{V/m}.
Usar \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} e tomar o módulo:
|\mathbf{J}|=\sigma E=(75{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{S/m})\times(0{,}020\\ \mathrm{V/m}).
Calcule:
|\mathbf{J}|=1{,}516\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Interpretação física: uma densidade de corrente de aproximadamente 1{,}52\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}} significa que, por cada metro quadrado de seção transversal, passariam cerca de 1{,}52 megaampères (valor típico alto porque o campo aplicado é pequeno mas a condutividade é grande).

Passo 6

Cálculo da velocidade de arrastamento v_{\mathrm{d}}:
Usar v_{\mathrm{d}}=\mu E:
v_{\mathrm{d}}=(0{,}0032\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)})\times(0{,}020\\ \mathrm{V/m}).
Calcule:
v_{\mathrm{d}}=6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
Converter para outras unidades intuitivas:
v_{\mathrm{d}}=6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}=64\\ \mu\mathrm{m/s}=0{,}064\\ \mathrm{mm/s}.
Comentário: essa velocidade é muito pequena — típico em condutores: embora a corrente elétrica pareça instantânea, a velocidade média dos elétrons sob campo é muito baixa.

Passo 7

Cheque (consistência): usar \mathbf{J}=n e v_{\mathrm{d}}. Com os valores calculados:
n e v_{\mathrm{d}}\approx (1{,}48\times10^{29}\\ \mathrm{m^{-3}})\times(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\times(6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}) \approx 1{,}52\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}},
coincidindo com o valor de |\mathbf{J}| obtido em

Resposta

(a) \rho\approx -2{,}37\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}
(b) |\mathbf{J}|\approx 1{,}516\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}
(c) v_{\mathrm{d}}\approx 6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}=64\\ \mu\mathrm{m/s}

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