- Um fio condutor de cobre, perfeitamente cilíndrico e com
de diâmetro, apresenta condutividade
e uma mobilidade de portadores
. Submetido a um campo elétrico interno de
, pede-se determinar: (a) a densidade volumétrica de carga livre, (b) o módulo da densidade de corrente, e (c) a velocidade de arrastamento imposta ao fluxo eletrônico.
Passo 1
O enunciado dá um fio cilíndrico de cobre com as seguintes informações:
- diâmetro
; - condutividade elétrica
; - mobilidade dos portadores
; - campo elétrico interno
.
O que se pede:
(a) a densidade volumétrica de carga livre (ou seja, a carga por unidade de volume, , associada aos portadores livres);
(b) o módulo da densidade de corrente (ou seja, );
(c) a velocidade de arrastamento (velocidade de deriva) imposta ao fluxo eletrônico ( ).
(a) a densidade volumétrica de carga livre (ou seja, a carga por unidade de volume,
(b) o módulo da densidade de corrente (ou seja,
(c) a velocidade de arrastamento (velocidade de deriva) imposta ao fluxo eletrônico (
Passo 2
Vamos listar e explicar as fórmulas úteis e o significado das quantidades:
-
é a condutividade elétrica. Relaciona densidade de corrente e campo elétrico pela lei de Ohm local:
onde
é a densidade de corrente (unidade
) e
é o campo elétrico (unidade
).
- A mobilidade
é definida como a razão entre a velocidade de arrastamento média do portador e o campo elétrico:
Aqui
tem unidade
.
- Para portadores de carga de valor absoluto
(elétron: ), a condutividade pode ser relacionada à densidade de portadores (número de portadores por volume) e à mobilidade:
Explicação: cada portador com carga
movendo-se com velocidade média
produz uma contribuição
para a densidade de corrente; usando
obtém-se
, logo
.
- A densidade volumétrica de carga associada aos portadores é
no caso de elétrons (sinal negativo porque elétrons têm carga negativa). Aqui
tem unidade
.
Essas fórmulas bastam para calcular (a), (b) e (c). Observação prática útil: combinando
e
segue-se que
Isso dá
diretamente a partir de
e
.
Passo 3
Cálculo da densidade de portadores
(passo intermediário, ajuda a entender a ordem de grandeza):
Usar
Usar
Calcule
:
Agora
Isso significa que há cerca de
elétrons livres por metro cúbico (ordem de grandeza típica para metais).
Passo 4
Cálculo da densidade volumétrica de carga livre
:
Usando a relação direta
Usando a relação direta
fazendo as contas (mostrando unidades para verificação):
Calcule numericamente:
Como são elétrons (carga negativa),
(Se quiser a magnitude, é
.)
Passo 5
Cálculo do módulo da densidade de corrente
:
Primeiro converter o campo :
Primeiro converter o campo
Usar
e tomar o módulo:
Calcule:
Interpretação física: uma densidade de corrente de aproximadamente
significa que, por cada metro quadrado de seção transversal, passariam cerca de
megaampères (valor típico alto porque o campo aplicado é pequeno mas a condutividade é grande).
Passo 6
Cálculo da velocidade de arrastamento
:
Usar :
Usar
Calcule:
Converter para outras unidades intuitivas:
Comentário: essa velocidade é muito pequena — típico em condutores: embora a corrente elétrica pareça instantânea, a velocidade média dos elétrons sob campo é muito baixa.
Passo 7
Cheque (consistência): usar
. Com os valores calculados:
coincidindo com o valor de
obtido em
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)