- Em regimes reais não-uniformes, a corrente elétrica macroscópica (
) é tida como o fluxo da densidade
. Supondo que em uma certa região a densidade de corrente obedece à equação cartesiana
, calcule a corrente elétrica total que flui por uma “janela” quadrada no plano
, delimitada pelas coordenadas de vértices
e (
) metros.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: a densidade de corrente vetorial é
(unidade ). - Dado: a “janela” é um quadrado no plano
com vértices em e . Isso implica que a janela está no plano , com variando de a e variando de a . - Pedido: calcular a corrente elétrica total que flui através dessa janela (isto é, o fluxo de
através da superfície do quadrado).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pânico).
- A corrente total que atravessa uma superfície
é o fluxo da densidade de corrente através dessa superfície. A fórmula é
onde:
-
é a densidade de corrente (em ); -
é o vetor normal unitário à superfície (direção que escolhemos como positiva); -
é o elemento de área da superfície (em ). - Intuição:
é a componente da densidade de corrente que atravessa a superfície; ao integrar sobre a área obtemos a corrente total em ampères.
Passo 3
Escolher a orientação da superfície e determinar
e
.
- A janela está no plano
, portanto o vetor normal é paralelo ao eixo . Podemos escolher (orientação positiva para o sentido + ). Se fosse escolhido , o sinal da corrente trocaria de sinal; aqui tomo . - Para uma superfície plana no plano
, o elemento de área é (área projetada é exatamente ), com e .
Passo 4
Calcular o produto escalar
e montar a integral dupla.
- Dado
e , o produto escalar é
- Assim a corrente é a integral
Passo 5
Calcular a integral interna (integração em
) detalhadamente.
- Integramos primeiro em
:
- A primitiva de
é , então
Passo 6
Calcular a integral externa (integração em
).
- Agora integramos em
:
- A primitiva de
é , logo
Passo 7
Verificação rápida de unidades e sinal (checagem para não errar na prova).
- Unidades:
tem unidade e tem unidade , logo o resultado é em ampères, consistente. - Sinal: como
aponta no sentido para e escolhemos , o fluxo é positivo; se a orientação da superfície fosse invertida, o valor seria .