1. Em regimes reais não-uniformes, a corrente elétrica macroscópica ( I ) é tida como o fluxo da densidade \vec{J}. Supondo que em uma certa região a densidade de corrente obedece à equação cartesiana \vec{J}=\hat{y} 2 x z\left(\mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}\right), calcule a corrente elétrica total que flui por uma “janela” quadrada no plano x-z, delimitada pelas coordenadas de vértices (0,0,0) e ( 2,0,2 ) metros.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: a densidade de corrente vetorial é \vec{J} = \hat{y}\,2 x z (unidade \mathrm{A}/\mathrm{m}^2).
  • Dado: a “janela” é um quadrado no plano x\!-\!z com vértices em (0,0,0) e (2,0,2). Isso implica que a janela está no plano y=0, com x variando de 0 a 2 e z variando de 0 a 2.
  • Pedido: calcular a corrente elétrica total que flui através dessa janela (isto é, o fluxo de \vec{J} através da superfície do quadrado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pânico).
  • A corrente total que atravessa uma superfície S é o fluxo da densidade de corrente através dessa superfície. A fórmula é
I=\iint_{S}\vec{J}\cdot\hat{n}\,dS,
onde:
  • \vec{J} é a densidade de corrente (em \mathrm{A}/\mathrm{m}^2);
  • \hat{n} é o vetor normal unitário à superfície (direção que escolhemos como positiva);
  • dS é o elemento de área da superfície (em \mathrm{m}^2).
  • Intuição: \vec{J}\cdot\hat{n} é a componente da densidade de corrente que atravessa a superfície; ao integrar sobre a área obtemos a corrente total em ampères.

Passo 3

Escolher a orientação da superfície e determinar \hat{n} e dS.
  • A janela está no plano y=0, portanto o vetor normal é paralelo ao eixo y. Podemos escolher \hat{n} = +\hat{y} (orientação positiva para o sentido + y). Se fosse escolhido -\hat{y}, o sinal da corrente trocaria de sinal; aqui tomo \hat{n}=+\hat{y}.
  • Para uma superfície plana no plano x\!-\!z, o elemento de área é dS = dx\,dz (área projetada é exatamente dx\,dz), com x\in[0,2] e z\in[0,2].

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{J}\cdot\hat{n} e montar a integral dupla.
  • Dado \vec{J}=\hat{y}\,2 x z e \hat{n}=\hat{y}, o produto escalar é
\vec{J}\cdot\hat{n} = (\hat{y}\,2 x z)\cdot\hat{y} = 2 x z.
  • Assim a corrente é a integral
I=\int_{z=0}^{2}\int_{x=0}^{2} 2 x z \; dx\, dz.

Passo 5

Calcular a integral interna (integração em x) detalhadamente.
  • Integramos primeiro em x:
\int_{x=0}^{2} 2 x z \; dx = 2 z \int_{0}^{2} x \; dx.
  • A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
2 z \int_{0}^{2} x \; dx = 2 z \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 2 z \cdot \dfrac{2^{2}}{2} = 2 z \cdot 2 = 4 z.

Passo 6

Calcular a integral externa (integração em z).
  • Agora integramos em z:
I=\int_{z=0}^{2} 4 z \; dz.
  • A primitiva de z é \dfrac{z^{2}}{2}, logo
\int_{0}^{2} 4 z \; dz = 4 \left[\dfrac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 4 \cdot \dfrac{2^{2}}{2} = 4 \cdot 2 = 8.

Passo 7

Verificação rápida de unidades e sinal (checagem para não errar na prova).
  • Unidades: \vec{J} tem unidade \mathrm{A}/\mathrm{m}^2 e dS tem unidade \mathrm{m}^2, logo o resultado é em ampères, consistente.
  • Sinal: como \vec{J} aponta no sentido +\hat{y} para x,z>0 e escolhemos \hat{n}=+\hat{y}, o fluxo é positivo; se a orientação da superfície fosse invertida, o valor seria -8\\ \mathrm{A}.

Resposta

I=8\\ \mathrm{A}

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