Equação de Bernoulli
- Resolva a EDO de Bernoulli
, com
.
- Faça a transformação apropriada e encontre a solução explícita. Verifique o comportamento quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução explícita e o comportamento quando
:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que se pede:
- encontrar a solução explícita
que satisfaça a equação e a condição inicial; - verificar o comportamento de
quando .
Passo 2
Reconhecer o tipo de equação e a estratégia. A equação está na forma de Bernoulli
com
,
e
.
A ideia padrão para uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
A ideia padrão para uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
porque ela transforma a equação não linear num problema linear em
. Vou aplicar essa substituição aqui.
Passo 3
Escolher e diferenciar a substituição. Com
tomamos
Agora usamos a regra da cadeia para calcular
. Como
,
Esta relação é só a derivada de
em termos de
.
Passo 4
Substituir
a partir da relação obtida na equação original. Da relação anterior temos
Substituindo em
obtemos
Agora dividimos a igualdade por
(válido enquanto
; a solução que encontramos a seguir será positiva neste problema, então a divisão é legítima):
Lembrando que
, isto fica
Multiplicando por
para colocar na forma linear padrão,
Portanto transformámos a Bernoulli numa equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear
. Escrevemos como
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração (observe que
). Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Impor a condição inicial para determinar
. Como
e
, temos
Substituindo
em
dá
Logo
Passo 7
Voltar à variável
. Como
,
Verificação rápida (opcional, mas útil): calcular
e verificar a equação original. Temos
Então
confirmando que a solução satisfaz a equação. Também verifica a condição inicial
.
Passo 8
Estudar o comportamento quando
. Como
quando
, tem-se
portanto
(Simetria: por curiosidade, quando
tem
.)