Equação de Bernoulli
  • Resolva a EDO de Bernoulli \mathrm{dy} / \mathrm{dx}+\mathrm{y}=\mathrm{y}^{2}, com \mathrm{y}(0)=1 / 2.
  • Faça a transformação apropriada e encontre a solução explícita. Verifique o comportamento quando \mathrm{x} \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução explícita e o comportamento quando x\to+\infty:
  • Equação: \dfrac{dy}{dx}+y=y^{2}.
  • Condição inicial: y(0)=\tfrac{1}{2}.
    O que se pede:
  1. encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial;
  2. verificar o comportamento de y(x) quando x\to+\infty.

Passo 2

Reconhecer o tipo de equação e a estratégia. A equação está na forma de Bernoulli
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com P(x)=1, Q(x)=1 e n=2.
A ideia padrão para uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
z=y^{1-n},
porque ela transforma a equação não linear num problema linear em z. Vou aplicar essa substituição aqui.

Passo 3

Escolher e diferenciar a substituição. Com n=2 tomamos
z=y^{1-2}=y^{-1}.
Agora usamos a regra da cadeia para calcular \dfrac{dz}{dx}. Como z=y^{-1},
\frac{dz}{dx} = -1\cdot y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Esta relação é só a derivada de y^{-1} em termos de \dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituir \dfrac{dy}{dx} a partir da relação obtida na equação original. Da relação anterior temos
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\,\frac{dz}{dx}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}+y=y^{2} obtemos
- y^{2}\frac{dz}{dx} + y = y^{2}.
Agora dividimos a igualdade por y^{2} (válido enquanto y\neq 0; a solução que encontramos a seguir será positiva neste problema, então a divisão é legítima):
- \frac{dz}{dx} + \frac{1}{y} = 1.
Lembrando que \dfrac{1}{y}=z, isto fica
- \frac{dz}{dx} + z = 1.
Multiplicando por -1 para colocar na forma linear padrão,
\frac{dz}{dx} - z = -1.
Portanto transformámos a Bernoulli numa equação linear de primeira ordem para z(x).

Passo 5

Resolver a equação linear \dfrac{dz}{dx}-z=-1. Escrevemos como
\frac{dz}{dx}+(-1)\,z=-1.
O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{-x}\frac{dz}{dx}-e^{-x}z = -e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-x}z, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}z\bigr) = -e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}z = \int -e^{-x}\,dx = e^{-x} + C,
onde C é constante de integração (observe que \int -e^{-x}\,dx = e^{-x}). Multiplicando por e^{x} obtemos
z(x) = 1 + C e^{x}.

Passo 6

Impor a condição inicial para determinar C. Como z=y^{-1} e y(0)=\tfrac{1}{2}, temos
z(0)=\frac{1}{y(0)}=2.
Substituindo x=0 em z(x)=1+Ce^{x}
2 = 1 + C\cdot e^{0} \quad\Rightarrow\quad C=1.
Logo
z(x)=1+e^{x}.

Passo 7

Voltar à variável y. Como z=y^{-1},
y(x)=\frac{1}{z(x)}=\frac{1}{1+e^{x}}.
Verificação rápida (opcional, mas útil): calcular \dfrac{dy}{dx} e verificar a equação original. Temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Então
\frac{dy}{dx}+y = -\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} + \frac{1}{1+e^{x}} = \frac{-e^{x} + (1+e^{x})}{(1+e^{x})^{2}} = \frac{1}{(1+e^{x})^{2}} = y^{2},
confirmando que a solução satisfaz a equação. Também verifica a condição inicial y(0)=1/(1+1)=1/2.

Passo 8

Estudar o comportamento quando x\to+\infty. Como e^{x}\to+\infty quando x\to+\infty, tem-se
y(x)=\frac{1}{1+e^{x}}\sim e^{-x}\quad\text{quando }x\to+\infty,
portanto
\lim_{x\to+\infty} y(x)=0.
(Simetria: por curiosidade, quando x\to-\infty tem y(x)\to 1.)

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{1+e^{x}}
\displaystyle \lim_{x\to+\infty} y(x)=0

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