O modelo de crescimento populacional de peixes de Verhulst é dado por:
P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}\right) e^{-r t}}
onde K= capacidade de suporte, r= taxa de crescimento.
(a) Linearize o modelo para pequenas variações em torno de P=K
(b) Calcule a sensibilidade de P(t) a variações em r\left(\frac{\partial P}{\partial r}\right)

Passo 1

O enunciado dá a solução explícita do modelo de Verhulst:
P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}\right)e^{-r t}}.
Dados fornecidos importantes:
  • K é a capacidade de suporte (constante).
  • r é a taxa de crescimento (constante).
  • P_{0}=P(0) é a população inicial (constante).
  • A função P(t) é a população em função do tempo t.
O que o enunciado pede:
(a) Linearizar o modelo para pequenas variações em torno de P=K.
(b) Calcular a sensibilidade \displaystyle \frac{\partial P}{\partial r} (a variação de P(t) quando r varia).

Passo 2

Entendendo o ponto de equilíbrio P=K e como linearizar: vou fazer a linearização usando a equação diferencial subjacente ao modelo logístico (isto é mais direto e útil na prova). A equação diferencial correspondente ao modelo de Verhulst é
\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right).
Explicando essa fórmula (rápido): o termo rP é o crescimento proporcional à população e o fator \left(1-\frac{P}{K}\right) reduz o crescimento conforme P se aproxima de K. O ponto de equilíbrio ocorre quando \frac{dP}{dt}=0, logo P=0 e P=K são equilíbrios; estamos interessados em pequenas variações ao redor de P=K.

Passo 3

Defino a pequena perturbação em torno de K:
\varepsilon(t)=P(t)-K,
onde assumimos \varepsilon(t) pequeno (isto é o significado de "pequenas variações em torno de P=K").
Substituo P=K+\varepsilon na equação diferencial:
\frac{d}{dt}(K+\varepsilon)=r(K+\varepsilon)\left(1-\frac{K+\varepsilon}{K}\right).
Como K é constante, \frac{d}{dt}(K+\varepsilon)=\frac{d\varepsilon}{dt}. O termo dentro do parênteses simplifica:
1-\frac{K+\varepsilon}{K}=1-\left(1+\frac{\varepsilon}{K}\right)=-\frac{\varepsilon}{K}.
Então obtemos a equação exata
\frac{d\varepsilon}{dt}=r(K+\varepsilon)\left(-\frac{\varepsilon}{K}\right)=-r\frac{K+\varepsilon}{K}\,\varepsilon.

Passo 4

Agora linearizamos para \varepsilon pequeno: quando \varepsilon é pequeno, \frac{K+\varepsilon}{K}\approx 1. Mantemos apenas termos de primeira ordem em \varepsilon e desprezamos termos \mathcal{O}(\varepsilon^{2}). Assim a equação linearizada fica
\frac{d\varepsilon}{dt}\approx -r\varepsilon.
Isso é um ODE linear simples, cuja solução é
\varepsilon(t)=\varepsilon(0) e^{-r t}.
Como \varepsilon(0)=P(0)-K=P_{0}-K, voltando à variável P temos a aproximação linearizada
P(t)\approx K+\bigl(P_{0}-K\bigr)e^{-r t}.
Interpretação rápida: pequenas diferenças em relação a K decaem exponencialmente com taxa r — isto é, o sistema volta para K com velocidade proporcional a r. Essa é a linearização do modelo em torno de P=K.

Passo 5

(Observação alternativa curta, útil para prova) Se você preferir linearizar diretamente a solução explícita, defina A=\left(\dfrac{K-P_{0}}{P_{0}}\right) e escreva
P(t)=\frac{K}{1+A e^{-r t}}.
Para pequenas perturbações em torno de K (isto é, quando A e^{-r t} é pequeno) faz-se a expansão (1+u)^{-1}\approx 1-u com u=A e^{-r t}, obtendo
P(t)\approx K\bigl(1-A e^{-r t}\bigr)=K-(K-P_{0})e^{-r t},
que é equivalente à expressão do passo anterior porque K-(K-P_{0})e^{-r t}=K+(P_{0}-K)e^{-r t}.

Passo 6

Agora calculamos a sensibilidade \displaystyle \frac{\partial P}{\partial r}. Começo reescrevendo a solução com A como constante:
A=\frac{K-P_{0}}{P_{0}},\qquad P(t)=K\bigl(1+A e^{-r t}\bigr)^{-1}.
Vou derivar em relação a r. Uso a regra da cadeia: se P=K(1+u)^{-1} com u=A e^{-r t}, então
\frac{\partial P}{\partial r}=K\cdot(-1)(1+u)^{-2}\cdot\frac{\partial u}{\partial r}.
Calculo \dfrac{\partial u}{\partial r}=A\cdot\frac{\partial}{\partial r}\bigl(e^{-r t}\bigr)=A\cdot(-t)e^{-r t}=-A t e^{-r t}. Substituindo:
\frac{\partial P}{\partial r}=K\cdot(-1)(1+u)^{-2}\cdot\bigl(-A t e^{-r t}\bigr) =K\frac{A t e^{-r t}}{(1+A e^{-r t})^{2}}.

Passo 7

Simplifico essa expressão escrevendo-a em termos de P e K (forma muito prática em prova). Note que
1+A e^{-r t}=\frac{K}{P(t)}\quad\text{(porque }P=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}\text{)},
e também A e^{-r t}=\frac{K}{P}-1=\frac{K-P}{P}. Substituindo em \dfrac{\partial P}{\partial r}:
\frac{\partial P}{\partial r} =K t\frac{A e^{-r t}}{(1+A e^{-r t})^{2}} =K t\frac{\dfrac{K-P}{P}}{\left(\dfrac{K}{P}\right)^{2}} =K t\frac{K-P}{P}\cdot\frac{P^{2}}{K^{2}}.
Cancelando fatores obtemos a forma compacta e intuitiva
\boxed{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial r}=t\,\frac{P\,(K-P)}{K}.}
Essa expressão mostra que a sensibilidade cresce linearmente com t, é proporcional a P e a K-P e é nula em P=0 e em P=K (faz sentido: em equilíbrio a pequena mudança em r não altera instantaneamente P).

Resposta

\text{(a) }P(t)\approx K+\bigl(P_{0}-K\bigr)e^{-r t}.
\text{(b) }\displaystyle \frac{\partial P}{\partial r}=t\,\frac{P(t)\,\bigl(K-P(t)\bigr)}{K}.

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