O modelo de crescimento populacional de peixes de Verhulst é dado por:
onde
capacidade de suporte,
taxa de crescimento.
(a) Linearize o modelo para pequenas variações em torno de
(b) Calcule a sensibilidade de
a variações em
(a) Linearize o modelo para pequenas variações em torno de
(b) Calcule a sensibilidade de
Passo 1
O enunciado dá a solução explícita do modelo de Verhulst:
Dados fornecidos importantes:
-
é a capacidade de suporte (constante). -
é a taxa de crescimento (constante). -
é a população inicial (constante). - A função
é a população em função do tempo .
O que o enunciado pede:
(a) Linearizar o modelo para pequenas variações em torno de .
(b) Calcular a sensibilidade (a variação de
quando
varia).
(a) Linearizar o modelo para pequenas variações em torno de
(b) Calcular a sensibilidade
Passo 2
Entendendo o ponto de equilíbrio
e como linearizar: vou fazer a linearização usando a equação diferencial subjacente ao modelo logístico (isto é mais direto e útil na prova). A equação diferencial correspondente ao modelo de Verhulst é
Explicando essa fórmula (rápido): o termo
é o crescimento proporcional à população e o fator
reduz o crescimento conforme
se aproxima de
. O ponto de equilíbrio ocorre quando
, logo
e
são equilíbrios; estamos interessados em pequenas variações ao redor de
.
Passo 3
Defino a pequena perturbação em torno de
:
onde assumimos
pequeno (isto é o significado de "pequenas variações em torno de
").
Substituo
na equação diferencial:
Como
é constante,
. O termo dentro do parênteses simplifica:
Então obtemos a equação exata
Passo 4
Agora linearizamos para
pequeno: quando
é pequeno,
. Mantemos apenas termos de primeira ordem em
e desprezamos termos
. Assim a equação linearizada fica
Isso é um ODE linear simples, cuja solução é
Como
, voltando à variável
temos a aproximação linearizada
Interpretação rápida: pequenas diferenças em relação a
decaem exponencialmente com taxa
— isto é, o sistema volta para
com velocidade proporcional a
. Essa é a linearização do modelo em torno de
.
Passo 5
(Observação alternativa curta, útil para prova) Se você preferir linearizar diretamente a solução explícita, defina
e escreva
Para pequenas perturbações em torno de
(isto é, quando
é pequeno) faz-se a expansão
com
, obtendo
que é equivalente à expressão do passo anterior porque
.
Passo 6
Agora calculamos a sensibilidade
. Começo reescrevendo a solução com
como constante:
Vou derivar em relação a
. Uso a regra da cadeia: se
com
, então
Calculo
Substituindo:
Passo 7
Simplifico essa expressão escrevendo-a em termos de
e
(forma muito prática em prova). Note que
e também
. Substituindo em
:
Cancelando fatores obtemos a forma compacta e intuitiva
Essa expressão mostra que a sensibilidade cresce linearmente com
, é proporcional a
e a
e é nula em
e em
(faz sentido: em equilíbrio a pequena mudança em
não altera instantaneamente
).