O volume ideal de captura é dado por V(r, h)=\pi r^{2} h+0.3 r h^{2} para redes cilíndricas:
(a) Calcule a aproximação linear em torno de \left(r_{0}, h_{0}\right)
(b) Determine o erro percentual máximo se r tem erro de 2 \% e h 1.5 \%

Passo 1

O enunciado dá a função do volume ideal de captura para redes cilíndricas
V(r,h)=\pi r^{2} h+0,3 r h^{2}
e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a aproximação linear de V em torno do ponto \left(r_{0},h_{0}\right).
  2. (b) Determinar o erro percentual máximo em V quando r tem erro de 2\% e h tem erro de 1{,}5\%.
    Informações relevantes: temos r e h variáveis, o ponto de expansão \left(r_{0},h_{0}\right) é genérico (não numérico), e os erros dados são percentuais (pequenos), portanto podemos usar aproximação linear (diferencial).

Passo 2

O que é a aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis?
Se temos uma função V(r,h) suficientemente suave, a linearização de V em torno de \left(r_{0},h_{0}\right) é a melhor aproximação afim local, dada por
L(r,h)=V(r_{0},h_{0})+V_{r}(r_{0},h_{0})\,(r-r_{0})+V_{h}(r_{0},h_{0})\,(h-h_{0}).
Aqui V_{r} significa a derivada parcial de V em relação a r (mantendo h fixo) e V_{h} é a derivada parcial em relação a h (mantendo r fixo). Intuição rápida: a linearização é o plano tangente ao gráfico de V no ponto (r_{0},h_{0},V(r_{0},h_{0})). Na prova, sempre escreva essa fórmula antes de derivar — ela já organiza a solução.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de V passo a passo (não pule etapa):
Começando de
V(r,h)=\pi r^{2} h+0,3 r h^{2},
derivando em relação a r (tratando h como constante) usamos regras básicas: derivada de r^{2} é 2r; de r é 1. Assim
V_{r}(r,h)=\frac{\partial}{\partial r}\big(\pi r^{2} h\big)+\frac{\partial}{\partial r}\big(0,3 r h^{2}\big) =2\pi r h+0,3 h^{2}.
Agora derivando em relação a h (tratando r como constante): derivada de h é 1; de h^{2} é 2h. Logo
V_{h}(r,h)=\frac{\partial}{\partial h}\big(\pi r^{2} h\big)+\frac{\partial}{\partial h}\big(0,3 r h^{2}\big) =\pi r^{2}+0,6 r h.
Sempre confira unidades/intuição: V_{r} tem fator h (esperado, volume varia com h ao mudar r) e V_{h} tem fator r^{2} mais termo misto.

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula da linearização do Passo 2. Assim a aproximação linear de V em torno de \left(r_{0},h_{0}\right) é
L(r,h)=V(r_{0},h_{0})+\big(2\pi r_{0} h_{0}+0,3 h_{0}^{2}\big)\,(r-r_{0})+\big(\pi r_{0}^{2}+0,6 r_{0} h_{0}\big)\,(h-h_{0}).
Se quiser, podemos também escrever explicitamente V(r_{0},h_{0}):
V(r_{0},h_{0})=\pi r_{0}^{2} h_{0}+0,3 r_{0} h_{0}^{2}.
Essa é a resposta pedida no item (a). Na prova, escreva a expressão do plano tangente exatamente como acima.

Passo 5

Agora o item (b): queremos o erro percentual máximo em V quando r tem erro de 2\% e h tem erro de 1{,}5\%. Estratégia: usar diferencial (aproximação linear) para estimar a variação \Delta V. Para pequenas variações \Delta r e \Delta h vale
\Delta V \approx V_{r}(r_{0},h_{0})\,\Delta r+V_{h}(r_{0},h_{0})\,\Delta h.
Definimos os erros relativos (frações): \varepsilon_{r}=\dfrac{\Delta r}{r_{0}} e \varepsilon_{h}=\dfrac{\Delta h}{h_{0}}. Queremos \dfrac{\Delta V}{V(r_{0},h_{0})} em termos de \varepsilon_{r},\varepsilon_{h}. Substituindo \Delta r=r_{0}\varepsilon_{r} e \Delta h=h_{0}\varepsilon_{h} obtemos
\frac{\Delta V}{V(r_{0},h_{0})}\approx \frac{V_{r}(r_{0},h_{0})\,r_{0}}{V(r_{0},h_{0})}\,\varepsilon_{r} +\frac{V_{h}(r_{0},h_{0})\,h_{0}}{V(r_{0},h_{0})}\,\varepsilon_{h}.
Agora substituímos V_{r}, V_{h} e V (avalie em (r_{0},h_{0})):
V(r_{0},h_{0})=r_{0} h_{0}\big(\pi r_{0}+0,3 h_{0}\big),
V_{r}(r_{0},h_{0})\,r_{0}=r_{0} h_{0}\big(2\pi r_{0}+0,3 h_{0}\big),
V_{h}(r_{0},h_{0})\,h_{0}=r_{0} h_{0}\big(\pi r_{0}+0,6 h_{0}\big).
Dividindo pelos r_{0} h_{0}\big(\pi r_{0}+0,3 h_{0}\big) comuns, obtemos uma forma limpa:
\frac{\Delta V}{V(r_{0},h_{0})}\approx \frac{2\pi r_{0}+0,3 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\,\varepsilon_{r} +\frac{\pi r_{0}+0,6 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\,\varepsilon_{h}.

Passo 6

Agora inserimos os erros percentuais dados como frações: \varepsilon_{r}=0,02 (2%) e \varepsilon_{h}=0,015 (1{,}5%). O erro percentual máximo (assumindo pior caso em que ambos contribuem com o mesmo sinal) é aproximadamente a soma das contribuições absolutas; portanto, em porcentagem:
\text{Erro percentual máximo}\approx \left(\frac{2\pi r_{0}+0,3 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\cdot 2 +\frac{\pi r_{0}+0,6 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\cdot 1{,}5\right)\%.á
Uma forma alternativa, útil para cálculo numérico, é escrever em função de \alpha=\dfrac{h_{0}}{r_{0}}:
\text{Erro percentual máximo}\approx \left(\frac{2\pi+0,3\alpha}{\pi+0,3\alpha}\cdot 2 +\frac{\pi+0,6\alpha}{\pi+0,3\alpha}\cdot 1{,}5\right)\%.á
Se quiser um número concreto, substitua \alpha (ou r_{0},h_{0}) e calcule; por exemplo, para r_{0}=h_{0} (logo \alpha=1) você teria um valor numérico obtido substituindo \alpha=1 na expressão acima.

Resposta

L(r,h)=V(r_{0},h_{0})+\big(2\pi r_{0} h_{0}+0,3 h_{0}^{2}\big)(r-r_{0})+\big(\pi r_{0}^{2}+0,6 r_{0} h_{0}\big)(h-h_{0})
\text{Erro percentual máximo}\approx \left(\frac{2\pi r_{0}+0,3 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\cdot 2 +\frac{\pi r_{0}+0,6 h_{0}}{\pi r_{0}+0,3 h_{0}}\cdot 1{,}5\right)\%á

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