O volume ideal de captura é dado por
para redes cilíndricas:
(a) Calcule a aproximação linear em torno de
(b) Determine o erro percentual máximo se
tem erro de
e
(a) Calcule a aproximação linear em torno de
(b) Determine o erro percentual máximo se
Passo 1
O enunciado dá a função do volume ideal de captura para redes cilíndricas
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a aproximação linear de
em torno do ponto . - (b) Determinar o erro percentual máximo em
quando tem erro de e tem erro de .
Informações relevantes: temose variáveis, o ponto de expansão é genérico (não numérico), e os erros dados são percentuais (pequenos), portanto podemos usar aproximação linear (diferencial).
Passo 2
O que é a aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis?
Se temos uma função suficientemente suave, a linearização de
em torno de
é a melhor aproximação afim local, dada por
Se temos uma função
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo). Intuição rápida: a linearização é o plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Na prova, sempre escreva essa fórmula antes de derivar — ela já organiza a solução.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
passo a passo (não pule etapa):
Começando de
Começando de
derivando em relação a
(tratando
como constante) usamos regras básicas: derivada de
é
; de
é
. Assim
Agora derivando em relação a
(tratando
como constante): derivada de
é
; de
é
. Logo
Sempre confira unidades/intuição:
tem fator
(esperado, volume varia com
ao mudar
) e
tem fator
mais termo misto.
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula da linearização do Passo 2. Assim a aproximação linear de
em torno de
é
Se quiser, podemos também escrever explicitamente
:
Essa é a resposta pedida no item (a). Na prova, escreva a expressão do plano tangente exatamente como acima.
Passo 5
Agora o item (b): queremos o erro percentual máximo em
quando
tem erro de
e
tem erro de
. Estratégia: usar diferencial (aproximação linear) para estimar a variação
. Para pequenas variações
e
vale
Definimos os erros relativos (frações):
e
. Queremos
em termos de
. Substituindo
e
obtemos
Agora substituímos
,
e
(avalie em
):
Dividindo pelos
comuns, obtemos uma forma limpa:
Passo 6
Agora inserimos os erros percentuais dados como frações:
(2%) e
(1{,}5%). O erro percentual máximo (assumindo pior caso em que ambos contribuem com o mesmo sinal) é aproximadamente a soma das contribuições absolutas; portanto, em porcentagem:
Uma forma alternativa, útil para cálculo numérico, é escrever em função de
:
Se quiser um número concreto, substitua
(ou
) e calcule; por exemplo, para
(logo
) você teria um valor numérico obtido substituindo
na expressão acima.