Modelo de difusão de oxigênio em tecidos:
:
(a) Encontre a direção de maior taxa de variação da oxigenação
(b) Qual plano aproximaria a oxigenação próximo a
?
(a) Encontre a direção de maior taxa de variação da oxigenação
(b) Qual plano aproximaria a oxigenação próximo a
Passo 1
O enunciado dá a função de oxigenação
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a direção de maior taxa de variação da oxigenação em um ponto
. - (b) Determinar qual plano aproximaria a oxigenação próximo a
.
Informações dadas que vamos usar: os parâmetros
(constantes) e o ponto
. Nada mais foi pedido ou fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos aprender duas ferramentas que precisamos:
- Gradiente. Para uma função
, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento instantâneo de
.
- Derivada direcional. A razão de variação de
na direção de um vetor unitário é a derivada direcional:
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário
. Pelo fato do produto escalar satisfazer a desigualdade de Cauchy–Schwarz, para
temos
A igualdade ocorre quando
tem a mesma direção do gradiente. Portanto a direção de maior taxa de variação é a direção do próprio gradiente; a maior taxa de variação (o valor máximo) é
.
Passo 3
Agora aplicamos isso à nossa função. Calcule as derivadas parciais de
Derivando em relação a
e
:
Logo o gradiente geral é
No ponto
temos
Portanto, a direção de maior taxa de variação em
é a direção do vetor
. Se você quiser a direção como vetor unitário (normalizado), divide-se pelo seu módulo:
portanto o vetor unitário na direção de maior aumento é
desde que
. Se
(isto é, se
e
), então a derivada direcional de primeira ordem é zero em todas as direções (ponto crítico) e não há uma direção de aumento linear — a variação de primeira ordem é nula.
Passo 4
Agora a segunda peça: o plano que aproxima
próximo a
. Isso é a linearização (plano tangente) dada por:
Vamos calcular cada termo. Primeiro o valor no ponto:
As derivadas no ponto já temos:
e
. Substituindo na fórmula do plano:
Se quiser simplificar os termos constantes, desenvolvendo os produtos:
Esse é o plano (função afim em
) que aproxima
perto de
. Ele coincide com
no ponto e tem as mesmas derivadas parciais lá. Observação prática: se
, então
e o plano tangente é simplesmente
(plano horizontal).
Passo 5
Resumo rápido e encorajador: a direção de maior aumento é sempre a direção do gradiente
; a melhor aproximação linear perto do ponto é o plano tangente obtido pela linearização. Se tiver medo de contas, lembra: derive, forme o gradiente, normalize se precisar de vetor unitário; para o plano, avalie a função e as derivadas no ponto e monte a fórmula da linearização — passo a passo, sem pânico!
Resposta
(a) Direção de maior aumento:
. Vetor unitário correspondente:
(se
).\n
(b) Plano aproximante (plano tangente) em :
(b) Plano aproximante (plano tangente) em
ou, equivalente e simplificado,