Modelo de difusão de oxigênio em tecidos: O_{2}(x, y)=C_{0}-\alpha x^{2}-\beta y^{2} :
(a) Encontre a direção de maior taxa de variação da oxigenação
(b) Qual plano aproximaria a oxigenação próximo a \left(x_{0}, y_{0}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá a função de oxigenação
O_2(x,y)=C_0-\alpha x^{2}-\beta y^{2}
e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a direção de maior taxa de variação da oxigenação em um ponto \left(x_0,y_0\right).
  • (b) Determinar qual plano aproximaria a oxigenação próximo a \left(x_0,y_0\right).
Informações dadas que vamos usar: os parâmetros \;C_0,\alpha,\beta\; (constantes) e o ponto \left(x_0,y_0\right). Nada mais foi pedido ou fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos aprender duas ferramentas que precisamos:
  1. Gradiente. Para uma função f(x,y), o gradiente \nabla f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento instantâneo de f.
  1. Derivada direcional. A razão de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é a derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário \mathbf{u}. Pelo fato do produto escalar satisfazer a desigualdade de Cauchy–Schwarz, para \|\mathbf{u}\|=1 temos
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{u}\le \|\nabla f(x,y)\| \cdot \|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(x,y)\|.
A igualdade ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente. Portanto a direção de maior taxa de variação é a direção do próprio gradiente; a maior taxa de variação (o valor máximo) é \|\nabla f(x,y)\|.

Passo 3

Agora aplicamos isso à nossa função. Calcule as derivadas parciais de
O_2(x,y)=C_0-\alpha x^{2}-\beta y^{2}.
Derivando em relação a x e y:
\frac{\partial O_2}{\partial x}(x,y)=-2\alpha x, \qquad \frac{\partial O_2}{\partial y}(x,y)=-2\beta y.
Logo o gradiente geral é
\nabla O_2(x,y)=\big(-2\alpha x,\; -2\beta y\big).
No ponto \left(x_0,y_0\right) temos
\nabla O_2(x_0,y_0)=\big(-2\alpha x_0,\; -2\beta y_0\big).
Portanto, a direção de maior taxa de variação em \left(x_0,y_0\right) é a direção do vetor \big(-2\alpha x_0,\,-2\beta y_0\big). Se você quiser a direção como vetor unitário (normalizado), divide-se pelo seu módulo:
\|\nabla O_2(x_0,y_0)\|=2\sqrt{(\alpha x_0)^2+(\beta y_0)^2},
portanto o vetor unitário na direção de maior aumento é
\mathbf{u}_{\max}=\frac{(-2\alpha x_0,\,-2\beta y_0)}{2\sqrt{(\alpha x_0)^2+(\beta y_0)^2}} =\frac{(-\alpha x_0,\,-\beta y_0)}{\sqrt{(\alpha x_0)^2+(\beta y_0)^2}},
desde que \nabla O_2(x_0,y_0)\neq(0,0). Se \nabla O_2(x_0,y_0)=(0,0) (isto é, se x_0=0 e y_0=0), então a derivada direcional de primeira ordem é zero em todas as direções (ponto crítico) e não há uma direção de aumento linear — a variação de primeira ordem é nula.

Passo 4

Agora a segunda peça: o plano que aproxima O_2 próximo a \left(x_0,y_0\right). Isso é a linearização (plano tangente) dada por:
L(x,y)=O_2(x_0,y_0)+\frac{\partial O_2}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0)+\frac{\partial O_2}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Vamos calcular cada termo. Primeiro o valor no ponto:
O_2(x_0,y_0)=C_0-\alpha x_0^2-\beta y_0^2.
As derivadas no ponto já temos: \frac{\partial O_2}{\partial x}(x_0,y_0)=-2\alpha x_0 e \frac{\partial O_2}{\partial y}(x_0,y_0)=-2\beta y_0. Substituindo na fórmula do plano:
L(x,y)=C_0-\alpha x_0^2-\beta y_0^2-2\alpha x_0(x-x_0)-2\beta y_0(y-y_0).
Se quiser simplificar os termos constantes, desenvolvendo os produtos:
L(x,y)=C_0+\alpha x_0^2+\beta y_0^2-2\alpha x_0 x-2\beta y_0 y.
Esse é o plano (função afim em x,y) que aproxima O_2(x,y) perto de \left(x_0,y_0\right). Ele coincide com O_2 no ponto e tem as mesmas derivadas parciais lá. Observação prática: se \left(x_0,y_0\right)=(0,0), então \nabla O_2=(0,0) e o plano tangente é simplesmente L(x,y)=C_0 (plano horizontal).

Passo 5

Resumo rápido e encorajador: a direção de maior aumento é sempre a direção do gradiente \nabla O_2(x_0,y_0); a melhor aproximação linear perto do ponto é o plano tangente obtido pela linearização. Se tiver medo de contas, lembra: derive, forme o gradiente, normalize se precisar de vetor unitário; para o plano, avalie a função e as derivadas no ponto e monte a fórmula da linearização — passo a passo, sem pânico!

Resposta

(a) Direção de maior aumento: \nabla O_2(x_0,y_0)=\big(-2\alpha x_0,\;-2\beta y_0\big). Vetor unitário correspondente:
\displaystyle \mathbf{u}_{\max}=\frac{(-\alpha x_0,\,-\beta y_0)}{\sqrt{(\alpha x_0)^2+(\beta y_0)^2}} (se \nabla O_2(x_0,y_0)\neq(0,0)).\n
(b) Plano aproximante (plano tangente) em \left(x_0,y_0\right):
L(x,y)=C_0-\alpha x_0^2-\beta y_0^2-2\alpha x_0(x-x_0)-2\beta y_0(y-y_0),
ou, equivalente e simplificado,
L(x,y)=C_0+\alpha x_0^2+\beta y_0^2-2\alpha x_0 x-2\beta y_0 y.

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