Modelo de crescimento tumoral: V(r, t)=\frac{4}{3} \pi\left(r_{0} e^{\alpha t}\right)^{3} :
(a) Use a regra da cadeia para relacionar \frac{d V}{d t} \operatorname{com} \frac{d r}{d t}
(b) Interprete biologicamente os termos da derivada

Passo 1

O enunciado dá o modelo
V(r,t)=\frac{4}{3}\pi\big(r_{0}e^{\alpha t}\big)^{3}
e pede duas coisas:
  1. (a) Usar a regra da cadeia para relacionar \dfrac{dV}{dt} com \dfrac{dr}{dt}.
  2. (b) Interpretar biologicamente os termos que aparecem na derivada.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
  • \,r_{0} é o raio inicial (constante).
  • \,\alpha é uma constante de crescimento (taxa).
  • O raio como função do tempo é \,r(t)=r_{0}e^{\alpha t}.
  • O volume é o volume de uma esfera de raio \,r(t), dado por \,V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando uma grandeza V depende de r e r depende de t, isto é V=V(r) e r=r(t), a taxa de variação de V no tempo é o produto da taxa de variação de V em relação a r pela taxa de variação de r em relação a t. Em fórmulas:
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \dfrac{dV}{dt}: velocidade de variação do volume no tempo (unidade: volume/unidade de tempo).
  • \dfrac{dV}{dr}: quanto o volume muda se o raio muda (derivada do volume em relação ao raio).
  • \dfrac{dr}{dt}: velocidade radial, ou seja, quanto o raio cresce por unidade de tempo.

Passo 3

Calcule \dfrac{dV}{dr} a partir da fórmula usual do volume de uma esfera. Como
V(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3},
derivando em relação a r temos (lembrando que a derivada de r^{3} é 3r^{2}):
\frac{dV}{dr}= \frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}=4\pi r^{2}.
Interpretação matemática simples: \dfrac{dV}{dr} é a área da superfície da esfera de raio r.

Passo 4

Calcule \dfrac{dr}{dt} a partir de \,r(t)=r_{0}e^{\alpha t}. Diferenciando exponencial:
\frac{dr}{dt}= \alpha r_{0}e^{\alpha t}=\alpha r(t)=\alpha r.
Então a velocidade radial é proporcional ao próprio raio, com constante de proporcionalidade \alpha.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos as derivadas encontradas:
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}= \big(4\pi r^{2}\big)\cdot(\alpha r)=4\pi\alpha r^{3}.
Usando a expressão de V em função de r, ou seja \,V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, podemos reescrever 4\pi\alpha r^{3} em termos de V:
4\pi\alpha r^{3}=3\alpha\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)=3\alpha V.
Portanto temos as formas equivalentes úteis:
\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}=4\pi\alpha r^{3}=3\alpha V.

Passo 6

Interpretação biológica (explicada passo a passo, no estilo “amigo que te anima”):
  • O fator \,4\pi r^{2} é a área da superfície do tumor (esfera). Biologicamente, isso faz sentido: o crescimento em volume costuma acontecer na “casca” externa do tumor, onde as células se multiplicam e empurram o contorno para fora. Logo a área de superfície é a área disponível para acrescentar novo volume.
  • O fator \,\dfrac{dr}{dt} (ou \,\alpha r) é a velocidade radial de expansão do tumor: quanto o raio aumenta por unidade de tempo. Se \dfrac{dr}{dt} é maior, o tumor “empurra” o exterior mais rápido.
  • O produto \,4\pi r^{2}\cdot \dfrac{dr}{dt} significa: volume acrescentado por unidade de tempo ≈ (área onde a adição ocorre) × (espessura acrescentada por unidade de tempo). É exatamente a ideia geométrica de aumentar uma casca esférica fina.
  • A forma \,\dfrac{dV}{dt}=3\alpha V diz que o volume cresce proporcionalmente ao próprio volume, com taxa \,3\alpha. Ou seja, o volume segue crescimento exponencial com constante de taxa \,3\alpha. Isso mostra que um crescimento exponencial do raio se traduz em crescimento exponencial do volume com taxa triplicada (porque volume escala como r^{3}).
  • Unidade e implicação prática: se \alpha tem unidade de (tempo)^{-1}, então \,3\alpha também é (tempo)^{-1} e dá a taxa de crescimento volumétrico. A “tempo de duplicação” do volume é \,t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{3\alpha}.
  • Moral para a prova: falar que \,4\pi r^{2} é área de superfície e que \dfrac{dr}{dt} é velocidade radial já garante uma boa interpretação física/biológica da expressão \dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}. Não esquece de ligar \alpha ao crescimento exponencial do raio e \,3\alpha ao crescimento exponencial do volume — isso costuma ser cobrado.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}=4\pi\alpha r^{3}=3\alpha V\n
(b) \displaystyle 4\pi r^{2} é a área de superfície (local onde o volume é acrescentado), \displaystyle \frac{dr}{dt}=\alpha r é a velocidade radial de crescimento, e o produto \,4\pi r^{2}\frac{dr}{dt} dá a taxa de aumento do volume; em termos de volume, \displaystyle \frac{dV}{dt}=3\alpha V mostra crescimento exponencial do volume com taxa \,3\alpha.

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