Modelo de crescimento tumoral:
:
(a) Use a regra da cadeia para relacionar
(b) Interprete biologicamente os termos da derivada
(a) Use a regra da cadeia para relacionar
(b) Interprete biologicamente os termos da derivada
Passo 1
O enunciado dá o modelo
e pede duas coisas:
- (a) Usar a regra da cadeia para relacionar
com . - (b) Interpretar biologicamente os termos que aparecem na derivada.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
-
é o raio inicial (constante). -
é uma constante de crescimento (taxa). - O raio como função do tempo é
. - O volume é o volume de uma esfera de raio
, dado por .
Passo 2
Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando uma grandeza
depende de
e
depende de
, isto é
e
, a taxa de variação de
no tempo é o produto da taxa de variação de
em relação a
pela taxa de variação de
em relação a
. Em fórmulas:
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade de variação do volume no tempo (unidade: volume/unidade de tempo). -
: quanto o volume muda se o raio muda (derivada do volume em relação ao raio). -
: velocidade radial, ou seja, quanto o raio cresce por unidade de tempo.
Passo 3
Calcule
a partir da fórmula usual do volume de uma esfera. Como
derivando em relação a
temos (lembrando que a derivada de
é
):
Interpretação matemática simples:
é a área da superfície da esfera de raio
.
Passo 4
Calcule
a partir de
. Diferenciando exponencial:
Então a velocidade radial é proporcional ao próprio raio, com constante de proporcionalidade
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos as derivadas encontradas:
Usando a expressão de
em função de
, ou seja
, podemos reescrever
em termos de
:
Portanto temos as formas equivalentes úteis:
Passo 6
Interpretação biológica (explicada passo a passo, no estilo “amigo que te anima”):
- O fator
é a área da superfície do tumor (esfera). Biologicamente, isso faz sentido: o crescimento em volume costuma acontecer na “casca” externa do tumor, onde as células se multiplicam e empurram o contorno para fora. Logo a área de superfície é a área disponível para acrescentar novo volume. - O fator
(ou ) é a velocidade radial de expansão do tumor: quanto o raio aumenta por unidade de tempo. Se é maior, o tumor “empurra” o exterior mais rápido. - O produto
significa: volume acrescentado por unidade de tempo ≈ (área onde a adição ocorre) × (espessura acrescentada por unidade de tempo). É exatamente a ideia geométrica de aumentar uma casca esférica fina. - A forma
diz que o volume cresce proporcionalmente ao próprio volume, com taxa . Ou seja, o volume segue crescimento exponencial com constante de taxa . Isso mostra que um crescimento exponencial do raio se traduz em crescimento exponencial do volume com taxa triplicada (porque volume escala como ). - Unidade e implicação prática: se
tem unidade de (tempo)^{-1}, então também é (tempo)^{-1} e dá a taxa de crescimento volumétrico. A “tempo de duplicação” do volume é . - Moral para a prova: falar que
é área de superfície e que é velocidade radial já garante uma boa interpretação física/biológica da expressão . Não esquece de ligar ao crescimento exponencial do raio e ao crescimento exponencial do volume — isso costuma ser cobrado.
Resposta
(a)
\n
(b) é a área de superfície (local onde o volume é acrescentado),
é a velocidade radial de crescimento, e o produto
dá a taxa de aumento do volume; em termos de volume,
mostra crescimento exponencial do volume com taxa
.
(b)