A velocidade de reação enzimática segue V(S)=\frac{V_{\max } S}{K_{m}+S} :
(a) Linearize V(S) em torno de S=K_{m}
(b) Use a aproximação para estimar V\left(K_{m}+0.2 K_{m}\right)

Passo 1

O enunciado dá a velocidade enzimática segundo a equação de Michaelis–Menten
V(S)=\frac{V_{\max}\,S}{K_{m}+S}
e pede (a) linearizar V(S) em torno de S=K_{m} e (b) usar essa aproximação para estimar V(K_{m}+0,2\,K_{m}). Vamos aplicar a expansão de primeira ordem (linearização/Taylor).

Passo 2

Para linearizar em torno de S_{0}=K_{m} usamos
L(S)=V(S_{0}) + V'(S_{0})\,(S-S_{0}),
onde V'(S)=\dfrac{d}{dS}\bigl(\tfrac{V_{\max}S}{K_{m}+S}\bigr).

Passo 3

Calculamos primeiro
V(K_{m})=\frac{V_{\max}\,K_{m}}{K_{m}+K_{m}}=\frac{V_{\max}}{2}.
Em seguida a derivada
V'(S) =V_{\max}\,\frac{(K_{m}+S)-S}{(K_{m}+S)^{2}} =V_{\max}\,\frac{K_{m}}{(K_{m}+S)^{2}},
logo em S=K_{m}
V'(K_{m}) =V_{\max}\,\frac{K_{m}}{(2K_{m})^{2}} =\frac{V_{\max}}{4\,K_{m}}.

Passo 4

Substituindo em L(S) obtemos a reta tangente em S=K_{m}:
L(S) =\frac{V_{\max}}{2} +\frac{V_{\max}}{4\,K_{m}}\,(S-K_{m}).

Passo 5

Para estimar V(K_{m}+0,2\,K_{m}) usamos S-K_{m}=0,2\,K_{m}:
L(K_{m}+0,2\,K_{m}) =\frac{V_{\max}}{2} +\frac{V_{\max}}{4\,K_{m}}\,(0,2\,K_{m}) =V_{\max}\Bigl(\tfrac12+\tfrac{0,2}{4}\Bigr) =0,55\,V_{\max}.

Resposta

V(K_{m}+0,2\,K_{m})\approx0,55\,V_{\max}

Exercícios relacionados