O fluxo de oxigênio através de uma membrana celular é dado por F(P, d)=\frac{k\left(P_{1}-P_{2}\right)}{d}, onde d é a espessura:
(a) Calcule a diferencial total d F
(b) Como a variação de d afeta mais significativamente o fluxo que a variação de pressão?

Passo 1

O enunciado dá a lei de difusão de Fick para o fluxo de oxigênio através de uma membrana como
F(P_1,P_2,d) \;=\;\frac{k\bigl(P_{1}-P_{2}\bigr)}{d},
onde P_{1} e P_{2} são as pressões nos dois lados da membrana e d é a espessura. Pede-se (a) a diferencial total dF e (b) explicar por que variações em d influenciam mais F do que variações em P.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Para P_{1}:
\frac{\partial F}{\partial P_{1}} =\frac{k}{d},
para P_{2}:
\frac{\partial F}{\partial P_{2}} =-\frac{k}{d},
e para d:
\frac{\partial F}{\partial d} =-\,\frac{k\bigl(P_{1}-P_{2}\bigr)}{d^{2}}.

Passo 3

A diferencial total combina essas parciais com os incrementos dP_{1}, dP_{2} e dd. Logo
dF =\frac{\partial F}{\partial P_{1}}\,dP_{1} +\frac{\partial F}{\partial P_{2}}\,dP_{2} +\frac{\partial F}{\partial d}\,dd =\frac{k}{d}\,dP_{1} -\frac{k}{d}\,dP_{2} -\frac{k\bigl(P_{1}-P_{2}\bigr)}{d^{2}}\,dd.

Passo 4

Para ver qual variável afeta mais F, comparamos os coeficientes de dP e de dd. Em módulo:
\Bigl|\tfrac{\partial F}{\partial P_{1}}\Bigr| =\frac{k}{d}, \qquad \Bigl|\tfrac{\partial F}{\partial d}\Bigr| =\frac{k\,(P_{1}-P_{2})}{d^{2}}.
O quociente entre eles é
\frac{|\partial F/\partial d|}{|\partial F/\partial P_{1}|} =\frac{\frac{k\,(P_{1}-P_{2})}{d^{2}}}{\frac{k}{d}} =\frac{P_{1}-P_{2}}{d}.
Como normalmente \Delta P=P_{1}-P_{2} é da ordem de centenas de mmHg e d é da ordem de micrômetros, \Delta P/d é um número muito grande. Portanto, pequenas variações em d produzem mudanças em F muito maiores do que variações equivalentes em P.

Resposta

(a)
dF =\frac{k}{d}\,dP_{1} -\frac{k}{d}\,dP_{2} -\frac{k\bigl(P_{1}-P_{2}\bigr)}{d^{2}}\,dd.
(b) Porque
\Bigl|\tfrac{\partial F}{\partial d}\Bigr| =\frac{k\,(P_{1}-P_{2})}{d^{2}}
é muito maior do que
\Bigl|\tfrac{\partial F}{\partial P_{1}}\Bigr| =\frac{k}{d},
já que \frac{P_{1}-P_{2}}{d} é muito grande em condições fisiológicas.

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