Quais são as propriedades de dois vetores a e b tais que
a+b=a-b;

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \,a e \,b em um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^n) e impõe
a + b \;=\; a - b.
O conteúdo aqui é manipular soma e subtração de vetores e usar as propriedades de vetor nulo e inverso aditivo.

Passo 2

Partimos da igualdade
a + b = a - b
e subtraímos o vetor a de ambos os lados (usando o inverso aditivo de a), obtendo
(a + b) - a = (a - b) - a.
Pela associatividade e definição de inverso aditivo temos
b = -\,b.

Passo 3

A igualdade b = -b implica
b + b = 0,
ou seja
2\,b = 0.

Passo 4

Em um espaço vetorial sobre um corpo de característica diferente de 2 (como \mathbb{R} ou \mathbb{C}), a relação 2\,b = 0 só é satisfeita se
b = 0,
isto é, b é o vetor nulo. Não há restrição sobre a: ele pode ser qualquer vetor.

Resposta

Para que a + b = a - b seja verdadeiro, necessariamente
b = 0
e a é arbitrário.

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