O modelo matemático de um certo processo é representado pela seguinte equação em variáveis desvios, ou seja, y(0)=0 :
2 cdot dy(t)dt=3 cdot u(t)-y(t)
Se uma perturbação for feita na entrada na forma: u(t)=(1-e^-t), qual a resposta dinâmica de y(t) ?
(a) y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2)
(b) y(t)=1-3 cdot e^-t / 2+e^-t
(c) y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2+2 cdot e^-t)
(d) y(t)=3 cdot(1-e^-t / 2+e^-t)
(e) y(t)=3 cdot(1-2 cdot e^-t / 2+e^-t) X

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em variáveis desvios
2,dy(t)dt=3,u(t)-y(t),
com condição inicial y(0)=0 e entrada u(t)=1-e^-t.
Conteúdo: resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem por coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
dydt+12,y=32,l(1-e^-tr)
Aqui o termo homogêneo é dydt+tfrac12y=0 e o forçamento é 32(1-e^-t).

Passo 3

A solução homogênea é
yh(t)=C,e^-t/2,
pois a equação dydt+tfrac12y=0 tem taxa de decaimento tfrac12.

Passo 4

Pelo método dos coeficientes indeterminados, procuramos uma solução particular da forma
yp(t)=A+B,e^-t,
já que o forçamento é soma de termo constante e termo em e^-t.

Passo 5

Calculamos dypdt=-B,e^-t e substituímos em
dypdt+12yp=12A+l(-B+tfrac12Br)e^-t =12A- B2,e^-t,
que deve ser igual a tfrac32-tfrac32,e^-t.
Comparando coeficientes:
12A=32Longrightarrow A=3,
- B2=-32Longrightarrow B=3
Logo yp(t)=3+3e^-t.

Passo 6

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C,e^-t/2+3+3e^-t
Usando y(0)=0 C+3+3=0, isto é C=-6. Portanto
y(t)=-6,e^-t/2+3+3e^-t

Passo 7

Colocando em forma fatorada:
y(t)=3-6e^-t/2+3e^-t=3l(1-2e^-t/2+e^-tr)

Resposta

(e) ;y(t)=3l(1-2e^-t/2+e^-tr)

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