Um sistema de pura capacidade com K^*=1 é submetido a seguinte perturbação pulso retangular: u(s)=-1s(1-e^-3 cdot s). Qual será o valor da resposta última deste sistema, após a perturbação?
(a) -3 X
(b) -6
(c) 0
(d) infinito
(e) -1

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema de “pura capacidade” (isto é, um integrador) com ganho K^*=1, e que esse sistema é submetido a uma perturbação em formato de pulso retangular cuja transformada de Laplace é
hat u(s)=-1s,l(1-e^-3sr)
Precisamos encontrar o valor da resposta em regime permanente (ou “resposta última”) y(infty).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o sinal de entrada no domínio do tempo. Sabendo que
hat u(s)=-1s--1se^-3s
vemos que, por transformada inversa,
u(t) = -1cdot u(t) ;-; l(-1r),u(t-3) = -u(t) + u(t-3)
Em outras palavras, u(t)=-1 para 0<= t<3 e u(t)=0 para t>3: é de fato um pulso de amplitude -1 e duração 3.

Passo 3

Como o sistema é um integrador com ganho unitário, sua função de transferência é
G(s)=Y(s)U(s)=1s
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Y(s)=G(s),hat u(s) =1s;-1s,l(1-e^-3sr) =-1s^2l(1-e^-3sr)

Passo 4

Para achar y(infty), usamos o Teorema do Valor Final:
y(infty)=limttoinftyy(t) =limsto0s,Y(s) =limsto0sgl[-1s^2l(1-e^-3sr)gr]
Como 1-e^-3sapprox3s perto de s=0, fica
y(infty) =limsto0l[-1s,(3s)r] =-3

Resposta

(a) -3

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