Um modelo matemático estima a produtividade P(x)\) de uma cultura de soja (em sacas por hectare) em função da quantidade \(x\) de um fertilizante (em dezenas de quilos). O modelo muda de comportamento a partir da aplicação de 40 kg \((x=4)\). \[P(x)= \begin{cases}3 x+15, & \text { se } 0 \leq x<4 \\\ x^{2}+C, & \text { se } x \geq 4\end{cases}
Para que não haja um salto irreal e abrupto na previsão de produtividade, a função P(x)\] deve ser contínua no ponto \(x=4. Qual deve ser o valor da constante C ?

Passo 1

O enunciado fornece a função produtividade P(x)\) definida por partes: \[P(x)= \begin{cases}3x+15, & \text{se } 0 \leq x<4 \\[4pt] x^{2}+C, & \text{se } x \geq 4\end{cases}
Informações importantes que o enunciado dá:
  • x\] é a quantidade de fertilizante em dezenas de quilos (logo \(x=4 corresponde a 40 kg).
  • A função muda de expressão exatamente em x=4.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor da constante C de modo que P(x) seja contínua no ponto x=4 (ou seja, não haja salto irreal na previsão de produtividade).]

Passo 2

O que significa "função contínua em x=4"? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
  • Uma função P(x) é contínua em x=4 se os valores que ela toma quando x se aproxima de 4 pela esquerda e pela direita coincidem e esse valor é igual a P(4). Em símbolos:
\lim_{x\to 4^-} P(x)=\lim_{x\to 4^+} P(x)=P(4).
  • No caso de uma função definida por partes, isso normalmente implica: calcular o valor do ramo esquerdo quando x\to4^- e o valor do ramo direito quando x\to4^+ (ou o próprio valor no ponto, se a definição o fornecer) e obrigar que sejam iguais. Aqui, para x\ge 4 a função vale x^2+C, portanto P(4)=4^2+C. Então precisamos igualar o limite vindo da esquerda ao valor 4^2+C.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda (usar o ramo válido para 0\le x<4):
\lim_{x\to4^-} P(x)=\lim_{x\to4^-} (3x+15).
Como 3x+15 é uma função polinomial (linear), o limite ao aproximar x de 4 é simplesmente o valor obtido substituindo x=4:
\lim_{x\to4^-} (3x+15)=3\cdot 4 + 15 = 12 + 15 = 27.

Passo 4

Calcular o valor do ramo direito no ponto x=4 (que é também P(4), já que para x\ge 4 a função é x^2+C):
P(4)=4^{2}+C=16+C.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: igualar o limite pela esquerda ao valor em x=4:
27 = 16 + C.
Resolver para C:
C = 27 - 16 = 11.

Passo 6

Checagem rápida: com C=11 temos P(4)=16+11=27, que coincide com o valor vindo da esquerda 27. Portanto não há salto e a função fica contínua em x=4. Em termos práticos, isso significa que tanto aplicando exatamente 40 kg quanto aproximando-se de 40 kg pela esquerda, o modelo prediz a mesma produtividade de 27 sacas por hectare.

Resposta

C=11

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