3. Falha de Leitura no Crescimento de uma Muda
A altura
de uma muda de eucalipto (em centímetros) foi modelada ao longo do tempo
(em semanas). Devido a uma falha de calibração no sensor de medição exatamente na semana 3, a função empírica gerada pelo computador foi definida da seguinte forma para
:
Sabendo que o crescimento de uma planta na natureza é um processo contínuo, qual deve ser o valor estimado da altura da muda na semana 3, ou seja, qual deve ser o valor de
para que a função se torne contínua nesse instante?
Passo 1
O enunciado nos dá a altura
de uma muda em função do tempo
(semanas) e informa que, por um problema no sensor, a expressão foi gerada apenas para
. As informações relevantes são:
- Para
temos - A pergunta: qual deve ser o valor de
para que a função seja contínua em ? Ou seja, qual valor devemos atribuir a de modo que não haja salto ou “buraco” na semana ?
Passo 2
Entendendo o que significa "ser contínua em
". Uma função
é contínua em
se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras simultaneamente:
-
está definida. -
existe. -
.
Então, para tornar
contínua em
precisamos calcular o limite
(usando a expressão dada para
) e definir
igual a esse limite.
Passo 3
Calcular o limite exige manipular a expressão
Primeiro fatoramos o numerador, que é uma diferença de quadrados:
Substituindo na expressão,
Como estamos considerando
, podemos cancelar o fator
, obtendo a forma simplificada válida para
:
Passo 4
Agora que simplificamos, calcular o limite é direto. A função
é polinomial (logo contínua) em todo ponto, então
Isso significa que a expressão original tem um “buraco removível” em
: a regra vale para todo
e o valor que preenche esse buraco é
.
Passo 5
Aplicando a condição de continuidade do Passo 2: para que
seja contínua em
devemos ter
Como
, devemos definir
. Pronto — assim a função não terá descontinuidade em
.