3. Falha de Leitura no Crescimento de uma Muda

A altura A(t) de uma muda de eucalipto (em centímetros) foi modelada ao longo do tempo t (em semanas). Devido a uma falha de calibração no sensor de medição exatamente na semana 3, a função empírica gerada pelo computador foi definida da seguinte forma para t \neq 3 :
A(t)=\frac{t^{2}-9}{t-3}
Sabendo que o crescimento de uma planta na natureza é um processo contínuo, qual deve ser o valor estimado da altura da muda na semana 3, ou seja, qual deve ser o valor de A(3) para que a função se torne contínua nesse instante?

Passo 1

O enunciado nos dá a altura A(t) de uma muda em função do tempo t (semanas) e informa que, por um problema no sensor, a expressão foi gerada apenas para t\neq 3. As informações relevantes são:
  • Para t\neq 3 temos A(t)=\frac{t^{2}-9}{t-3}.
  • A pergunta: qual deve ser o valor de A(3) para que a função seja contínua em t=3? Ou seja, qual valor devemos atribuir a A(3) de modo que não haja salto ou “buraco” na semana 3?

Passo 2

Entendendo o que significa "ser contínua em t=3". Uma função A(t) é contínua em t=3 se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras simultaneamente:
  1. A(3) está definida.
  2. \lim_{t\to 3}A(t) existe.
  3. \displaystyle \lim_{t\to 3}A(t)=A(3).
Então, para tornar A contínua em 3 precisamos calcular o limite \displaystyle \lim_{t\to 3}A(t) (usando a expressão dada para t\neq3) e definir A(3) igual a esse limite.

Passo 3

Calcular o limite exige manipular a expressão
A(t)=\frac{t^{2}-9}{t-3}.
Primeiro fatoramos o numerador, que é uma diferença de quadrados:
t^{2}-9=(t-3)(t+3).
Substituindo na expressão,
A(t)=\frac{(t-3)(t+3)}{t-3}\quad\text{para }t\neq 3.
Como estamos considerando t\neq3, podemos cancelar o fator (t-3), obtendo a forma simplificada válida para t\neq3:
A(t)=t+3\quad\text{para }t\neq 3.

Passo 4

Agora que simplificamos, calcular o limite é direto. A função t+3 é polinomial (logo contínua) em todo ponto, então
\lim_{t\to 3}A(t)=\lim_{t\to 3}(t+3)=3+3=6.
Isso significa que a expressão original tem um “buraco removível” em t=3: a regra vale para todo t\neq3 e o valor que preenche esse buraco é 6.

Passo 5

Aplicando a condição de continuidade do Passo 2: para que A seja contínua em t=3 devemos ter
A(3)=\lim_{t\to 3}A(t).
Como \displaystyle \lim_{t\to 3}A(t)=6, devemos definir A(3)=6. Pronto — assim a função não terá descontinuidade em t=3.

Resposta

A(3)=6

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