Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo A B C cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C(5, 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são os pontos dados. Informações fornecidas:
  • A(0,0),
  • B(3,7),
  • C(5,1).
A pergunta é: qual é o comprimento do segmento AM, onde M é o ponto médio do lado BC.

Passo 2

Definição útil (sem resolver ainda): uma mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Portanto, primeiro preciso encontrar as coordenadas do ponto médio M do segmento BC.
Fórmula do ponto médio: dados dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Vou aplicar isso a B(3,7) e C(5,1).

Passo 3

Calcular as coordenadas do ponto médio M:
M=\left(\frac{3+5}{2},\frac{7+1}{2}\right)=\left(\frac{8}{2},\frac{8}{2}\right)=(4,4).

Passo 4

Agora preciso do comprimento do segmento AM. Para isso uso a fórmula da distância entre dois pontos no plano, que vem diretamente do Teorema de Pitágoras.
Se P_1(x_1,y_1) e P_2(x_2,y_2), a distância entre eles é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui A(0,0) e M(4,4), então os incrementos são \Delta x=4-0=4 e \Delta y=4-0=4. Aplicando a fórmula:
AM=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.

Passo 5

Simplificar a raiz:
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}.
Opcionalmente, em valor decimal isso é aproximadamente 4\sqrt{2}\approx5{,}657, mas a forma exata é mais elegante para a prova.

Resposta

4\sqrt{2}

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