O modelo de um processo no domínio de Laplace pode ser representado pelas seguintes equações:
l (taua s+1) Y1(s)=K1 U1(s)+Kb Y2(s) (taub s+1) Y2(s)=K2 U2(s)+Y1(s)
onde as saídas são Y1 e Y2 e as entradas são U1 e U2.
Considerando os valores de taua=2, taub=1, e Kb=0,5, mostre (usando o Scilab) a reposta y2 a uma perturbação passo unitário em u1.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem:
– Um processo no domínio de Laplace descrito por
(taua s + 1),Y1(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s) (taub s + 1),Y2(s) = K2,U2(s) + Y1(s)
– Dados: , , .
– Queremos: resposta de a um degrau unitário em ( ), usando Scilab.
Conteúdo envolvido: teoria de função de transferência em malha fechada (e malha cruzada, já que realimenta e vice-versa), e simulação de resposta ao degrau no Scilab.
O que vamos precisar:
  1. Isolar a relação .
  2. Montar essa TF no Scilab com syslin.
  3. Gerar o sinal de entrada degrau e usar csim.

Passo 2

Derivendo a TF de Y1(s) ;=;K1,U1(s)+Kb,Y2(s)taua s+1 com (taub s+1),Y2(s) = Y1(s) ;Longrightarrow; Y2(s)=Y1(s)taub s+1 e assumindo Y2(s) =1taub s+1, K1,U1(s)+Kb,Y2(s)taua s+1 ;;Longrightarrow;; Y2(s)l[(taua s+1)(taub s+1)-Kbr] =K1,U1(s) , Y2(s)U1(s) =K1(taua s+1)(taub s+1)-Kb =12s^2+3s+0.5, (já que não foram dados):
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda:
  3. Substituindo :
  4. Logo pois substituímos .

Passo 3

Agora, o Scilab vai montar esse sistema e simular o degrau:
// 1) Parâmetros
ta = 2; tb = 1; Kb = 0.5; K1 = 1;

// 2) Numerador e denominador de H(s) = Y2(s)/U1(s)
num = K1;                // [1]
den = [ta*tb, ta+tb, 1-Kb];  // [2, 3, 0.5]

// 3) Criando sistema contínuo
sys = syslin('c', num, den);

// 4) Vetor de tempo e sinal degrau
t = 0:0.1:20;            // simula de 0 a 20 s com passo 0.1 s
u = ones(t);             // degrau unitário

// 5) Simulação da resposta
y = csim(u, t, sys);

// 6) Plot
clf();
plot(t, y)
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('y_2(t)');
title('Resposta de y_2 a um degrau unitário em u_1');

Passo 4

O que esse código faz, passo a passo:
  • Define .
  • Gera um degrau unitário u.
  • Usa csim(u,t,sys) para simular a saída y(t).
  • Plota y_2(t) versus tempo, mostrando como o sistema sobe de 0 a 2 (o ganho DC é ).

Resposta

Com esse script, o Scilab te dá o gráfico de , que parte de 0 e chega assintoticamente em 2, numa típica resposta de segundo-ordem amortecida definida por .

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