O modelo de um processo no domínio de Laplace pode ser representado pelas seguintes equações:
onde as saídas são
e
e as entradas são
e
.
Considerando o parâmetro
, em que condição seu valor levaria o processo a ter uma resposta integrativa?
Considerando o parâmetro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um processo descrito no domínio de Laplace por duas equações acopladas:
As saídas são
e as entradas
. A pergunta é: para qual valor de
o processo apresenta uma resposta integrativa (ou seja, um pólo na origem)?
Conteúdo que vamos usar: transformada de Laplace, álgebra de blocos (resolução de equações acopladas) e definição de integrador (pólo em ).
Conteúdo que vamos usar: transformada de Laplace, álgebra de blocos (resolução de equações acopladas) e definição de integrador (pólo em
Passo 2
Primeiro, simplificamos o problema focando numa única entrada, digamos
, e zerando
. Assim temos:
Aqui usamos a ideia de “resolver para uma variável” em sistemas lineares acoplados.
Passo 3
Agora voltamos na primeira equação e substituímos
:
Multiplicamos tudo por
para eliminar a fração:
Passo 4
Agrupamos os termos que têm
no lado esquerdo:
Expandindo o produto:
Logo o denominador da função de transferência
fica
Passo 5
Saca só: um sistema tem resposta integrativa quando aparece um pólo em
, ou seja, quando o termo independente do denominador for zero. Aqui o termo independente é
.
Para ter um pólo em , precisamos de
Para ter um pólo em
Resposta
O processo apresenta resposta integrativa (pólo na origem) quando
.