O modelo de um processo no domínio de Laplace pode ser representado pelas seguintes equações:
l (taua s+1) Y1(s)=K1 U1(s)+Kb Y2(s) (taub s+1) Y2(s)=K2 U2(s)+Y1(s)
onde as saídas são Y1 e Y2 e as entradas são U1 e U2.
Considerando o parâmetro Kb, em que condição seu valor levaria o processo a ter uma resposta integrativa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um processo descrito no domínio de Laplace por duas equações acopladas:
(taua s + 1),Y1(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s) [6pt] (taub s + 1),Y2(s) = K2,U2(s) + Y1(s)
As saídas são e as entradas . A pergunta é: para qual valor de o processo apresenta uma resposta integrativa (ou seja, um pólo na origem)?
Conteúdo que vamos usar: transformada de Laplace, álgebra de blocos (resolução de equações acopladas) e definição de integrador (pólo em ).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o problema focando numa única entrada, digamos (taub s +1),Y2(s) = Y1(s) Longrightarrow Y2(s) = Y1(s)taub s +1, , e zerando . Assim temos:
Aqui usamos a ideia de “resolver para uma variável” em sistemas lineares acoplados.

Passo 3

Agora voltamos na primeira equação e substituímos (taua s +1),Y1(s) = K1,U1(s) + Kb,Y1(s)taub s +1, :
(taua s+1)(taub s+1),Y1(s) = K1(taub s+1),U1(s) + Kb,Y1(s),
Multiplicamos tudo por para eliminar a fração:

Passo 4

Agrupamos os termos que têm l[(taua s+1)(taub s+1) - Kbr],Y1(s) = K1(taub s+1),U1(s), no lado esquerdo:
(taua s+1)(taub s+1) = tauataub,s^2 + (taua+taub),s + 1
Expandindo o produto:
tauataub,s^2 + (taua+taub),s + l(1 - Kbr)
Logo o denominador da função de transferência fica

Passo 5

Saca só: um sistema tem resposta integrativa quando aparece um pólo em 1 - Kb = 0 Longrightarrow Kb = 1 , ou seja, quando o termo independente do denominador for zero. Aqui o termo independente é .
Para ter um pólo em , precisamos de

Resposta

O processo apresenta resposta integrativa (pólo na origem) quando .

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