Usando a integral, obtenha X(omega) para os sinais:
x(t)=3[u(t)-u(t-4)]
Comprove seus resultados utilizando propriedades e a tabela de transformadas.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a transformada de Fourier
X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega tdt
para
x(t)=3l[u(t)-u(t-4)r],
Conteúdo: Transformada de Fourier, definição via integral, tabela de transformadas (passo‐único e deslocamento). Vamos precisar da definição de X(omega), saber que u(t) é o degrau unitário e usar a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição da transformada:
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt,
Como x(t)=3[u(t)-u(t-4)], percebemos que x(t)neq0 só para 0<= t<4. Então a integral vira
X(omega)=3integral0^4e^-jomega t,dt,

Passo 3

Agora integramos passo a passo:
  1. Antiderivada de e^-jomega t é e^-jomega t-jomega.
  2. Avaliando de t=0 a t=4:
integral0^4e^-jomega tdt =[e^-jomega t-jomega]0^4 =e^-jomegacdot4-1-jomega =1-e^-j4omegajomega,
Então
X(omega)=3;1-e^-j4omegajomega,

Passo 4

Dá pra escrever de outra forma usando a identidade 1-e^-j4omega=e^-j2omega,2jsin(2omega):
X(omega) =3;e^-j2omega,2jsin(2omega)jomega =6,sin(2omega)omega;e^-j2omega,

Passo 5

Para comprovar com tabela e propriedades:
  • Da tabela,$$\mathcal F{u(t)}=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega},\qquad\mathcal F{u(t-4)}=e^{-j4\omega}\Bigl[\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\Bigr]. Fu(t)=pideX(\omega)=3\Bigl[\mathcal F{u(t)}-\mathcal F{u(t-4)}\Bigr]=3\Bigl[\frac{1}{j\omega}(1-e{-j4\omega})+\pi\delta(\omega)(1-e{-j4\omega})\Bigr]. X(omega) =3l[ Fu(t)- Fu(t-4)r] =3l[1jomega(1-e^-j4omega)+pideX(\omega)=3;\frac{1-e^{-j4\omega}}{j\omega},$$
exatamente o mesmo resultado da integral.

Resposta

boxedX(omega)=3,1-e^-j4omegajomega Long<=ftrightarrow X(omega)=6,sin(2omega)omega;e^-j2omega,

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