Em um modelo simplificado de oscilador quântico amortecido, a amplitude de probabilidade \psi(t) satisfaz a equação diferencial
\psi^{\prime \prime}(t)+2 \kappa \psi^{\prime}(t)+\Omega^{2} \psi(t)=0,
onde \kappa, \Omega>0 são constantes reais.
(a) Mostre que, quando \kappa=\Omega, o operador linear associado à evolução do sistema não é diagonalizável. Determine a forma canônica de Jordan e interprete essa forma geometricamente.
(b) Usando o item anterior, determine a solução geral de \psi(t).
(c) Explique o que o termo adicional na solução indica sobre o comportamento do sistema físico - em particular, como o amortecimento crítico afeta a forma de oscilação temporal -. Esboce um gráfico que explique a situação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem para a amplitude de probabilidade \psi(t):
\psi^{\prime\prime}(t)+2\kappa\,\psi^{\prime}(t)+\Omega^{2}\psi(t)=0,
com \kappa>0 e \Omega>0. Há três pedidos:
  • (a) mostrar que, quando \kappa=\Omega, o operador linear (o gerador da evolução em primeira ordem) não é diagonalizável; determinar sua forma canônica de Jordan e interpretar geometricamente;
  • (b) usar (a) para obter a solução geral \psi(t) no caso crítico \kappa=\Omega;
  • (c) interpretar fisicamente o termo adicional que aparece na solução crítica e esboçar um gráfico ilustrativo comparando regimes.
Informações relevantes dadas: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e o caso particular \kappa=\Omega (amortecimento crítico).

Passo 2

Transformar a EDO de segunda ordem num sistema linear de primeira ordem (isso é padrão e útil porque diagonalização / forma de Jordan são conceitos de matrizes).
Defina o vetor de estado
x(t)=\begin{pmatrix}\psi(t)\\[4pt]\psi'(t)\end{pmatrix}.
Então a EDO é equivalente ao sistema
x'(t)=A\,x(t),
onde a matriz A é obtida escrevendo as equações:
\psi'=\psi_2,\qquad \psi''=-2\kappa\psi'-\Omega^{2}\psi,
portanto
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -\Omega^{2} & -2\kappa\end{pmatrix}.
Aqui A é o operador linear que gera a evolução no espaço de fases (\psi,\psi').]

Passo 3

Calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-\Omega^{2} & -2\kappa-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^{2}+2\kappa\lambda+\Omega^{2}.
As raízes são
\lambda = -\kappa\pm\sqrt{\kappa^{2}-\Omega^{2}}.
No caso crítico \kappa=\Omega o discriminante zera e obtemos raiz dupla
\lambda_{1}=\lambda_{2}=-\kappa.]

Passo 4

Verificar quantas direções próprias distintas existem quando \kappa=\Omega. Procuramos vetores próprios v=(v_1,v_2)^T tais que (A+\kappa I)v=0. Escrevemos
A+\kappa I=\begin{pmatrix}\kappa & 1\\[4pt]-\Omega^{2} & -\kappa\end{pmatrix}.
Como aqui \Omega=\kappa, substituindo \Omega^{2}=\kappa^{2} obtemos
A+\kappa I=\begin{pmatrix}\kappa & 1\\[4pt]-\kappa^{2} & -\kappa\end{pmatrix}.
Resolver (A+\kappa I)v=0. Das componentes,
\kappa v_1 + v_2 = 0,\qquad -\kappa^{2} v_1 - \kappa v_2 = 0.
A segunda equação é -\kappa vezes a primeira, portanto dependente. Uma equação independente dá v_2=-\kappa v_1. Logo o espaço próprio tem dimensão 1: todos os vetores próprios são múltiplos de
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\kappa\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade algébrica do autovalor é 2 mas a dimensão do espaço próprio é 1, a matriz A é defeituosa (não diagonalizável) quando \kappa=\Omega.]

Passo 5

Determinar a forma de Jordan e um vetor generalizado. Para obter a forma canônica de Jordan precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A+\kappa I)w = v,
ou seja, w resolve essa equação linear. Escreva w=(w_1,w_2)^T e resolva
\begin{pmatrix}\kappa & 1\\[4pt]-\kappa^{2} & -\kappa\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\\[4pt]w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\kappa\end{pmatrix}.
A primeira linha dá \kappa w_1 + w_2 = 1. Escolha por exemplo w_1=0 para simplicidade; então w_2=1. Verifique a segunda linha:
-\kappa^{2}\cdot0 -\kappa\cdot1 = -\kappa,
que coincide com o lado direito -\kappa. Logo w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} é um vetor generalizado válido.
Formando a matriz de mudança de base P=[v\; w], com colunas v,w, temos
P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-\kappa & 1\end{pmatrix}.
Nessa base A toma a forma de Jordan de um bloco 2\times2:
P^{-1} A P = J = \begin{pmatrix}-\kappa & 1\\[4pt]0 & -\kappa\end{pmatrix}.
Então a forma canônica de Jordan é um bloco de Jordan com autovalor -\kappa e uma entrada 1 acima da diagonal.
Geométricamente: há uma única direção própria (a reta gerada por v), que é uma direção invariável (trajetórias que nascem nessa reta decaem puramente como e^{-\kappa t}). A presença do vetor generalizado mostra que, fora dessa reta, as trajetórias não são combinações puramente exponenciais separadas: o fluxo sofre um “cisalhamento” na direção de v, o que se traduz em termos temporais por fatores polinomiais multiplicando e^{-\kappa t} (ver passo seguinte).]

Passo 6

Calcular a exponencial de matriz e^{At} no caso crítico. Uma forma prática usa que A+\kappa I é nilpotente de ordem 2:
(A+\kappa I)^{2}=0,
pois essa é a característica de um bloco de Jordan 2\times2. Assim podemos expandir
e^{At}=e^{(-\kappa I+(A+\kappa I))t}=e^{-\kappa t}\,e^{(A+\kappa I)t}.
Como (A+\kappa I)^{2}=0, a série exponencial truncase:
e^{(A+\kappa I)t}=I+t(A+\kappa I).
Portanto
e^{At}=e^{-\kappa t}\big(I+t(A+\kappa I)\big).
Esta fórmula dá explicitamente a evolução de qualquer estado inicial x(0).

Passo 7

Obter a solução geral \psi(t) usando a exponencial de matriz ou pelo método clássico de EDO com raiz dupla. Primeiro pela solução clássica: a equação característica da EDO é
r^{2}+2\kappa r + \Omega^{2}=0.
No caso \kappa=\Omega tem-se r=-\kappa raiz dupla, e por teoria das EDOs lineares com raízes repetidas a solução geral é
\psi(t)=\big(C_{1}+C_{2}\,t\big)e^{-\kappa t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais \psi(0) e \psi'(0).
Se quiser ver isso vindo da solução por matriz: escreva x(0)=\begin{pmatrix}\psi(0)\\[4pt]\psi'(0)\end{pmatrix}. Então
x(t)=e^{At}x(0)=e^{-\kappa t}\big(I+t(A+\kappa I)\big)x(0),
e projetando na primeira componente obtém-se exatamente \psi(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\kappa t} com C_1,C_2 relacionados linearmente a \psi(0),\psi'(0).]

Passo 8

Interpretação física do termo adicional t\,e^{-\kappa t} e comparação de regimes:
  • O termo adicional t multiplicando e^{-\kappa t} aparece porque o autovalor é degenerado e há um bloco de Jordan. Temporalmente isso corresponde a uma solução que decai exponencialmente com um fator polinomial multiplicativo; isto altera a forma temporal em relação a um simples decaimento e^{-\kappa t}.
  • Fisicamente, para um oscilador amortecido:
    • Se \kappa<\Omega (subamortecido) a solução é oscilatória amortecida: \psi(t)=e^{-\kappa t}\big(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\big) com \omega=\sqrt{\Omega^{2}-\kappa^{2}}. Há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente.
    • Se \kappa=\Omega (amortecimento crítico) não há oscilações: \psi(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\kappa t}. É o caso limítrofe entre oscilações e não-oscilações, e corresponde geralmente ao retorno mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar — o famoso “critical damping” em sistemas mecânicos. O termo t e^{-\kappa t} permite ajustar duas constantes iniciais independentemente embora não haja seno/coseno; esse termo pode retardar ligeiramente a queda inicial em comparação a um decaimento simples, mas não provoca oscilações.
    • Se \kappa>\Omega (sobreamortecido) as soluções são soma de dois decaimentos exponenciais distintos e reais, sem oscilações e tipicamente mais lento para retornar dependendo das constantes.
  • Em termos de comportamento temporal: o fator t pode gerar um pico relativo se as constantes iniciais tiverem sinais apropriados, mas não há alternância de sinal periódica. No amortecimento crítico o sistema atinge o equilíbrio sem oscilar e, entre as soluções monótonas possíveis, costuma fornecer o retorno ao equilíbrio mais rápido possível sem overshoot oscilatório.
Esboço qualitativo (desenho em linhas para comparar): suponha no eixo vertical a amplitude \psi(t) e eixo horizontal o tempo t. Trace três curvas partindo do mesmo \psi(0)>0:
  • Subamortecido: oscilações decrescentes (ondas sob envelope e^{-\kappa t}).
  • Criticamente amortecido: decaimento monotônico que chega rapidamente a zero, sem oscilar; forma aproximadamente parecida com (C_1 + C_2 t)e^{-\kappa t}.
  • Sobreamortecido: decaimento monotônico mais lento (soma de expoentes) do que o crítico para muitas condições iniciais.
(Imagine três curvas: a oscilatória cruzando o eixo várias vezes; a crítica descendo rapidamente e chegando a zero sem cruzar; a sobreamortecida descendo mais lentamente.)

Passo 9

Resumo motivador: portanto, o caso \kappa=\Omega é matematicamente especial porque a matriz geradora tem um bloco de Jordan de ordem 2 (não é diagonalizável), e fisicamente corresponde ao amortecimento crítico cuja solução tem o caráter (C_{1}+C_{2}t)e^{-\kappa t} — sem oscilações, com decaimento rápido e com o termo linear em t explicando a diferença de forma temporal em relação aos demais regimes. Força aí — entender Jordan aqui ajuda muito a interpretar o comportamento do sistema físico sem complicação excessiva.

Resposta

(a) Para \kappa=\Omega o operador em forma de primeira ordem é A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-\kappa^{2}&-2\kappa\end{pmatrix}. Tem autovalor duplo -\kappa mas espaço próprio de dimensão 1, logo não é diagonalizável; sua forma canônica de Jordan é \begin{pmatrix}-\kappa&1\\[4pt]0&-\kappa\end{pmatrix}. Geometricamente há uma única direção própria (reta invariante) e um vetor generalizado que cria um “cisalhamento” no fluxo de fase.
(b) A solução geral no caso crítico é \psi(t)=\big(C_{1}+C_{2}\,t\big)e^{-\kappa t}, com C_{1},C_{2} determinados pelas condições iniciais.
(c) O termo adicional t\,e^{-\kappa t} resulta do bloco de Jordan (autovalor repetido) e significa ausência de oscilações (decadência monotônica) mas com um prefactor polinomial que ajusta a resposta temporal; fisicamente \kappa=\Omega é o amortecimento crítico que dá o retorno mais rápido ao equilíbrio sem oscilar.]

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