Em um modelo simplificado de oscilador quântico amortecido, a amplitude de probabilidade
satisfaz a equação diferencial
onde
são constantes reais.
(a) Mostre que, quando
, o operador linear associado à evolução do sistema não é diagonalizável. Determine a forma canônica de Jordan e interprete essa forma geometricamente.
(b) Usando o item anterior, determine a solução geral de
.
(c) Explique o que o termo adicional na solução indica sobre o comportamento do sistema físico - em particular, como o amortecimento crítico afeta a forma de oscilação temporal -. Esboce um gráfico que explique a situação.
(a) Mostre que, quando
(b) Usando o item anterior, determine a solução geral de
(c) Explique o que o termo adicional na solução indica sobre o comportamento do sistema físico - em particular, como o amortecimento crítico afeta a forma de oscilação temporal -. Esboce um gráfico que explique a situação.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem para a amplitude de probabilidade
:
com
e
. Há três pedidos:
- (a) mostrar que, quando
, o operador linear (o gerador da evolução em primeira ordem) não é diagonalizável; determinar sua forma canônica de Jordan e interpretar geometricamente; - (b) usar (a) para obter a solução geral
no caso crítico ; - (c) interpretar fisicamente o termo adicional que aparece na solução crítica e esboçar um gráfico ilustrativo comparando regimes.
Informações relevantes dadas: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e o caso particular
(amortecimento crítico).
Passo 2
Transformar a EDO de segunda ordem num sistema linear de primeira ordem (isso é padrão e útil porque diagonalização / forma de Jordan são conceitos de matrizes).
Defina o vetor de estado
Então a EDO é equivalente ao sistema
onde a matriz
é obtida escrevendo as equações:
portanto
Aqui
é o operador linear que gera a evolução no espaço de fases
.]
Passo 3
Calcular os autovalores de
. O polinômio característico é
As raízes são
No caso crítico
o discriminante zera e obtemos raiz dupla
Passo 4
Verificar quantas direções próprias distintas existem quando
. Procuramos vetores próprios
tais que
. Escrevemos
Como aqui
, substituindo
obtemos
Resolver
. Das componentes,
A segunda equação é
vezes a primeira, portanto dependente. Uma equação independente dá
. Logo o espaço próprio tem dimensão
: todos os vetores próprios são múltiplos de
Como a multiplicidade algébrica do autovalor é
mas a dimensão do espaço próprio é
, a matriz
é defeituosa (não diagonalizável) quando
.]
Passo 5
Determinar a forma de Jordan e um vetor generalizado. Para obter a forma canônica de Jordan precisamos de um vetor generalizado
tal que
ou seja,
resolve essa equação linear. Escreva
e resolva
A primeira linha dá
. Escolha por exemplo
para simplicidade; então
. Verifique a segunda linha:
que coincide com o lado direito
. Logo
é um vetor generalizado válido.
Formando a matriz de mudança de base
, com colunas
, temos
Nessa base
toma a forma de Jordan de um bloco
:
Então a forma canônica de Jordan é um bloco de Jordan com autovalor
e uma entrada
acima da diagonal.
Geométricamente: há uma única direção própria (a reta gerada por
), que é uma direção invariável (trajetórias que nascem nessa reta decaem puramente como
). A presença do vetor generalizado mostra que, fora dessa reta, as trajetórias não são combinações puramente exponenciais separadas: o fluxo sofre um “cisalhamento” na direção de
, o que se traduz em termos temporais por fatores polinomiais multiplicando
(ver passo seguinte).]
Passo 6
Calcular a exponencial de matriz
no caso crítico. Uma forma prática usa que
é nilpotente de ordem
:
pois essa é a característica de um bloco de Jordan
. Assim podemos expandir
Como
, a série exponencial truncase:
Portanto
Esta fórmula dá explicitamente a evolução de qualquer estado inicial
.
Passo 7
Obter a solução geral
usando a exponencial de matriz ou pelo método clássico de EDO com raiz dupla. Primeiro pela solução clássica: a equação característica da EDO é
No caso
tem-se
raiz dupla, e por teoria das EDOs lineares com raízes repetidas a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
.
Se quiser ver isso vindo da solução por matriz: escreva
. Então
e projetando na primeira componente obtém-se exatamente
com
relacionados linearmente a
.]
Passo 8
Interpretação física do termo adicional
e comparação de regimes:
-
O termo adicional
multiplicando aparece porque o autovalor é degenerado e há um bloco de Jordan. Temporalmente isso corresponde a uma solução que decai exponencialmente com um fator polinomial multiplicativo; isto altera a forma temporal em relação a um simples decaimento . -
Fisicamente, para um oscilador amortecido:
- Se
(subamortecido) a solução é oscilatória amortecida: com . Há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente. - Se
(amortecimento crítico) não há oscilações: . É o caso limítrofe entre oscilações e não-oscilações, e corresponde geralmente ao retorno mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar — o famoso “critical damping” em sistemas mecânicos. O termo permite ajustar duas constantes iniciais independentemente embora não haja seno/coseno; esse termo pode retardar ligeiramente a queda inicial em comparação a um decaimento simples, mas não provoca oscilações. - Se
(sobreamortecido) as soluções são soma de dois decaimentos exponenciais distintos e reais, sem oscilações e tipicamente mais lento para retornar dependendo das constantes.
- Se
-
Em termos de comportamento temporal: o fator
pode gerar um pico relativo se as constantes iniciais tiverem sinais apropriados, mas não há alternância de sinal periódica. No amortecimento crítico o sistema atinge o equilíbrio sem oscilar e, entre as soluções monótonas possíveis, costuma fornecer o retorno ao equilíbrio mais rápido possível sem overshoot oscilatório.
Esboço qualitativo (desenho em linhas para comparar): suponha no eixo vertical a amplitude
e eixo horizontal o tempo
. Trace três curvas partindo do mesmo
:
- Subamortecido: oscilações decrescentes (ondas sob envelope
). - Criticamente amortecido: decaimento monotônico que chega rapidamente a zero, sem oscilar; forma aproximadamente parecida com
. - Sobreamortecido: decaimento monotônico mais lento (soma de expoentes) do que o crítico para muitas condições iniciais.
(Imagine três curvas: a oscilatória cruzando o eixo várias vezes; a crítica descendo rapidamente e chegando a zero sem cruzar; a sobreamortecida descendo mais lentamente.)
Passo 9
Resumo motivador: portanto, o caso
é matematicamente especial porque a matriz geradora tem um bloco de Jordan de ordem
(não é diagonalizável), e fisicamente corresponde ao amortecimento crítico cuja solução tem o caráter
— sem oscilações, com decaimento rápido e com o termo linear em
explicando a diferença de forma temporal em relação aos demais regimes. Força aí — entender Jordan aqui ajuda muito a interpretar o comportamento do sistema físico sem complicação excessiva.
Resposta
(a) Para
o operador em forma de primeira ordem é
. Tem autovalor duplo
mas espaço próprio de dimensão
, logo não é diagonalizável; sua forma canônica de Jordan é
. Geometricamente há uma única direção própria (reta invariante) e um vetor generalizado que cria um “cisalhamento” no fluxo de fase.
(b) A solução geral no caso crítico é , com
determinados pelas condições iniciais.
(c) O termo adicional resulta do bloco de Jordan (autovalor repetido) e significa ausência de oscilações (decadência monotônica) mas com um prefactor polinomial que ajusta a resposta temporal; fisicamente
é o amortecimento crítico que dá o retorno mais rápido ao equilíbrio sem oscilar.]
(b) A solução geral no caso crítico é
(c) O termo adicional