Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede
.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Foi dito que uma esfera está inscrita em um cubo (ou seja, a esfera toca as seis faces do cubo).
- A área lateral do cubo mede
. - O que é pedido: calcular o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo (isto é,
).
Passo 2
Entender o que é “área lateral” do cubo e extrair o lado
do cubo.
- Num cubo, cada face tem área
. A “área lateral” normalmente significa a soma das quatro faces laterais (excluindo base e topo), logo
Agora resolvemos para
. Dividindo por
,
Tomando raiz quadrada (lado positivo),
Passo 3
Relacionar o raio da esfera inscrita com o lado do cubo.
- Uma esfera inscrita em um cubo tem diâmetro igual ao lado do cubo, então o raio
é metade do lado:
Passo 4
Apresentar as fórmulas de volume que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
- Volume do cubo:
, onde é o comprimento do lado do cubo. - Volume da esfera:
, onde é o raio da esfera.
Vamos substituir os valores dee que encontramos.
Passo 5
Calcular o volume do cubo substituindo
.
Fazendo as potências separadamente:
e
. Portanto
Passo 6
Calcular o volume da esfera substituindo
.
Calcule
. Assim
Multiplicando os coeficientes:
. E juntando as potências de
:
. Logo
Passo 7
Calcular o volume do espaço entre o cubo e a esfera:
.
Substituindo as expressões obtidas,
Substituindo as expressões obtidas,
Fatorando
,
Essa é a forma exata e elegante da resposta.
Passo 8
Dar uma aproximação numérica para intuição (opcional, útil na prova para checar ordem de grandeza).
- Calculando numericamente (com
):
Força — você chegou até aqui! Na prova, é suficiente deixar a resposta na forma exata
ou, se pedirem valor numérico, arredondar como acima.