Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 144 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Foi dito que uma esfera está inscrita em um cubo (ou seja, a esfera toca as seis faces do cubo).
  • A área lateral do cubo mede 144\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • O que é pedido: calcular o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo (isto é, V_{\text{cubo}}-V_{\text{esfera}}).

Passo 2

Entender o que é “área lateral” do cubo e extrair o lado s do cubo.
  • Num cubo, cada face tem área s^2. A “área lateral” normalmente significa a soma das quatro faces laterais (excluindo base e topo), logo
4s^2 = 144\pi.
Agora resolvemos para s. Dividindo por 4,
s^2 = 36\pi.
Tomando raiz quadrada (lado positivo),
s = 6\sqrt{\pi}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Relacionar o raio da esfera inscrita com o lado do cubo.
  • Uma esfera inscrita em um cubo tem diâmetro igual ao lado do cubo, então o raio r é metade do lado:
r = \frac{s}{2} = \frac{6\sqrt{\pi}}{2} = 3\sqrt{\pi}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Apresentar as fórmulas de volume que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
  • Volume do cubo: V_{\text{cubo}} = s^3, onde s é o comprimento do lado do cubo.
  • Volume da esfera: V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3, onde r é o raio da esfera.
    Vamos substituir os valores de s e r que encontramos.

Passo 5

Calcular o volume do cubo substituindo s=6\sqrt{\pi}.
V_{\text{cubo}} = s^3 = \bigl(6\sqrt{\pi}\bigr)^3.
Fazendo as potências separadamente: 6^3=216 e (\sqrt{\pi})^3=\pi^{3/2}. Portanto
V_{\text{cubo}} = 216\,\pi^{3/2}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Calcular o volume da esfera substituindo r=3\sqrt{\pi}.
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\bigl(3\sqrt{\pi}\bigr)^3.
Calcule \bigl(3\sqrt{\pi}\bigr)^3 = 3^3(\sqrt{\pi})^3 = 27\,\pi^{3/2}. Assim
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi\cdot 27\,\pi^{3/2}.
Multiplicando os coeficientes: \tfrac{4}{3}\cdot 27 = 36. E juntando as potências de \pi: \pi\cdot\pi^{3/2}=\pi^{5/2}. Logo
V_{\text{esfera}} = 36\,\pi^{5/2}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Calcular o volume do espaço entre o cubo e a esfera: V_{\text{entre}}=V_{\text{cubo}}-V_{\text{esfera}}.
Substituindo as expressões obtidas,
V_{\text{entre}} = 216\,\pi^{3/2} - 36\,\pi^{5/2}.
Fatorando 36\,\pi^{3/2},
V_{\text{entre}} = 36\,\pi^{3/2}\bigl(6-\pi\bigr)\\ \mathrm{cm}^3.
Essa é a forma exata e elegante da resposta.

Passo 8

Dar uma aproximação numérica para intuição (opcional, útil na prova para checar ordem de grandeza).
  • Calculando numericamente (com \pi\approx 3{,}14159265):
V_{\text{entre}} \approx 572{,}95\\ \mathrm{cm}^3.
Força — você chegou até aqui! Na prova, é suficiente deixar a resposta na forma exata 36\pi^{3/2}(6-\pi) ou, se pedirem valor numérico, arredondar como acima.

Resposta

36\pi^{3/2}\bigl(6-\pi\bigr)\\ \mathrm{cm}^3
\approx 572{,}95\\ \mathrm{cm}^3

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