Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm ; sendo 8 cm a medida da aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- A aresta do cubo mede
. - Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de raio
. - Há
vértices no cubo, logo esferas centradas nos vértices.
A pergunta é: calcular o volume da parte do cubo que fica fora (exterior) às esferas, ou seja, o volume do conjunto dos pontos que estão dentro do cubo e que não pertencem a nenhuma das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cubo (é a coisa mais simples aqui).
A fórmula do volume de um cubo de aresta é
A fórmula do volume de um cubo de aresta
Substituindo
,
Passo 3
Agora precisamos saber quanto do cubo é “ocupado” pelas partes das esferas que penetram no interior do cubo. Para entender isso, fixe um sistema de coordenadas e coloque um vértice do cubo na origem
e o cubo ocupando a região
. A esfera centrada no vértice da origem tem equação
.
Como as superfícies coordenadas
,
,
são planos de simetria do espaço em torno da origem, a parte da esfera que está dentro do cubo (isto é, com
) é exatamente um oitante da esfera completa. Portanto, a porção da esfera que fica dentro do cubo é
do volume da esfera inteira.
A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Aqui
, então o volume da esfera inteira é
Logo, a porção de uma esfera dentro do cubo (um oitante) vale
Passo 4
Temos
vértices e, portanto,
oitantes (um oitante por esfera) potencialmente dentro do cubo. Antes de somar, precisamos checar se essas partes se sobrepõem (se há interseção de volumes não nula) — se houvesse sobreposição, não poderíamos somar simplesmente.
Calculemos as distâncias entre centros de esferas:
- Entre vértices adjacentes (compartilham uma aresta) a distância é
. A soma dos raios é . Portanto essas esferas se tocam exatamente ao longo do ponto médio da aresta, sem sobreposição (toque tangencial). - Entre vértices ligados por uma diagonal da face a distância é
, que é maior que ; portanto não há interseção. - Entre vértices opostos (diagonal do cubo) a distância é
, também maior que ; portanto não há interseção.
Conclusão: as partes das esferas que ficam dentro do cubo são disjuntas (não se sobrepõem), apenas se tocam em pontos de medida zero nas arestas. Assim podemos somar os volumes dos oitantes.
Passo 5
Somando os
oitantes (cada um com volume
) obtemos o volume total ocupado pelas esferas dentro do cubo:
Note que, como consequência, o total das partes das esferas dentro do cubo equivale ao volume de uma esfera inteira de raio
, porque
.
Passo 6
Finalmente, o volume da parte do cubo que fica exterior às esferas é a diferença entre o volume do cubo e o volume ocupado pelas porções das esferas:
Podemos colocar em forma factorizada:
Se quiser um valor numérico aproximado, usando
,