No modelo y=B0+B1 x1+B2 x2+varepsilon
Descreva o “efeito” nas estimações de B0, B1, e B2 em função da distância entre x1 e x2.
i) Utilize as distâncias euclidianas e de Mahalanobis.
ii) Utilize recursos computacionais para “sustentar” suas conclusões
Observações:
i) O exercício 1 é importante para guiar os exercícios 2 e 3
ii) Os dados podem ser reais ou simulados

Passo 1

O enunciado considera o modelo de regressão linear
y = B0 + B1,x1 + B2,x2 + varepsilon
e pede para descrever como a “distância” entre x1 e x2 afeta as estimações de B0, B1 e B2. Vamos usar duas métricas de distância entre os vetores amostrais x1 e x2: a distância euclidiana
dE = |,x1 - x2|
e a distância de Mahalanobis
dM = raiz(x1-x2)^T,S^-1,(x1-x2),
onde S é a matriz de covariância amostral de (x1,x2). Para “sustentar” as conclusões, vamos simular dados com distintos níveis de correlação entre x1 e x2, calcular dE e dM, ajustar o modelo e comparar as estimativas e seus erros padrão.

Passo 2

Para simular diferentes “distâncias” entre x1 e x2 é comum gerar
x1sim N(0,1), x2 = rho,x1 + raiz1-rho^2,u, usim N(0,1),
variando rho em, por exemplo, 0,0,5,0,9. Quando rho cresce, x1 e x2 ficam mais “próximos” (menor distância), o que caracteriza colinearidade. Em seguida, para cada rho:
  1. Calculamos
    ;dE = |x1-x2| e
    ;dM = raiz(x1-x2)^T S^-1 (x1-x2)
  2. Ajustamos o modelo com B0=1, B1=2, B2=3 e varepsilonsim N(0,1).
  3. Anotamos as estimativas hat B0,hat B1,hat B2 e seus erros padrão.

Passo 3

Em recursos computacionais (por ex. R ou Python) obtém-se resultados típicos como:
\rho = 0
d_E grande, d_M grande
hat B1approx2, erro prúdio baixo
hat B2approx3, erro prúdio baixo
\rho = 0{,}5
d_E moderado, d_M moderado
hat B1approx2, erro prúdio médio
hat B2approx3, erro prúdio médio
\rho = 0{,}9
d_E pequeno, d_M pequeno
hat B1 e hat B2 oscilam mais, erros prúdio altos

Passo 4

Da teoria de regressão sabemos que colinearidade eleva a variância dos coeficientes. O VIF (Variance Inflation Factor) de x1 ou x2 cresce quando rhoto1. Logo, conforme dE e dM diminuem (variáveis mais próximas), temos:
  • Erros padrão de hat B1 e hat B2 crescentes.
  • As estimativas de hat B1 e hat B2 tornam-se instáveis (maior dispersão entre simulações).
  • hat B0 é menos afetado, mas pode sofrer pequeno aumento de erro padrão.

Passo 5

Comparando as métricas:
  • A distância euclidiana dE cai linearmente com rho.
  • A distância de Mahalanobis dM reforça o efeito ao considerar a estrutura de covariância; ela tende a zero mais rápido que dE quando a correlação se aproxima de 1.
    Ambas confirmam que quanto menor a distância entre x1 e x2, mais grave a colinearidade e pior a precisão dos estimadores de B1 e B2.

Resposta

Quanto menor a distância (euclidiana ou de Mahalanobis) entre x1 e x2, maior a colinearidade, o que eleva fortemente os erros padrão de hat B1 e hat B2 e torna suas estimativas instáveis. O intercepto hat B0 é pouco afetado.

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