Exercício 1 (1,5 pontos)
A variância de uma variável aleatória discreta X é dada como sendo a média dos quadrados dos desvios de X em torno do seu valor esperado, isto é,
Var(X)=E[(X-E(X))^2]
Mostre que Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.

Passo 1

O enunciado define a variância de uma variável aleatória discreta X como
Var(X)=El[(X-E(X))^2r]
e pede para mostrar que isso é igual a
El(X^2r)-l[E(X)r]^2
O conteúdo usado será álgebra elementar e a linearidade da esperança.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado dentro da esperança:
(X - E(X))^2 = X^2 - 2,X,E(X) + l[E(X)r]^2

Passo 3

Agora aplicamos a esperança e usamos a linearidade E[aY+bZ]=aE[Y]+bE[Z], além de notar que E(X) é constante:
El[(X - E(X))^2r] = E[X^2] - 2,El[X,E(X)r] + E!l(l[E(X)r]^2r)
Como E(X) é constante, vale
El[X,E(X)r]=E(X),E[X] e E!l(l[E(X)r]^2r)=l[E(X)r]^2

Passo 4

Substituindo esses resultados, obtemos
Var(X) =E[X^2] - 2,E(X),E[X] + l[E(X)r]^2 =E[X^2] - l[E(X)r]^2

Resposta

Var(X)=El(X^2r)-l[E(X)r]^2

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